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Códigos de ráfagas

Sea $m\in\mathbb{N}$ un entero positivo. En $\mathbb{F}_2^m$ consideremos la relación de equivalencia:

$$\delta_0\cdots\delta_m=\mbox{\boldmath $\delta$} \sim \mbox{\... ...i<m:\, \varepsilon_i=\delta_{(i+j)\,\mbox{\scriptsize mod}\,m}.$$

Es decir, las palabras $\mbox{\boldmath$\delta$}$ y $\mbox{\boldmath$\varepsilon$}$ son equivalentes si coinciden salvo una rotación de sus símbolos. Una palabra $\mbox{\boldmath$\delta$}$ se dice poseer un patrón de error de ráfaga de longitud $n$ si para alguna palabra $\mbox{\boldmath$\sigma$}\in\mathbb{F}_2^n$ se cumple que $\mbox{\boldmath$\delta$} \sim \mbox{\boldmath$\sigma$}0^{(m-n)}=\mbox{\boldmath$\varepsilon$}$, es decir, si la parte no nula de la palabra es de longitud a lo sumo $n$ (acaso identificando sus extremos). Si para dos palabras $\mbox{\boldmath$\delta$},\mbox{\boldmath$\varepsilon$}\in\mathbb{F}_2^m$ se tiene que el ``error'' entre ellas $\mbox{\boldmath$\delta$}+\mbox{\boldmath$\varepsilon$}\in\mathbb{F}_2^m$ es un patrón de error de ráfaga de longitud $n$, entonces se dice que ellas difieren por una ráfaga de longitud $n$.

Proposición 8.2   Sea $C$ un código-$(n,k)$ cíclico. Supongamos que al transmitir una palabra codificada $\mbox{\boldmath$\delta$}$ se han modificado $t$ caracteres.

1. Si el síndrome posee un peso de Hamming a lo sumo $t$, entonces ha de coincidir con el patrón de error.
2. Si se supone que los errores sólo pueden aparecer en $n-k$ posiciones contiguas, entonces alguna rotación de $\mbox{\boldmath$\delta$}$ posee un síndrome con peso de Hamming a lo sumo $t$.

En efecto, se tiene $e(X)=q(X)\,g(X)+s(X)$, donde $e(X)$ es el polinomio de error, $g(X)$ es un generador del código y $s(X)$ es el polinomio de índrome. Entonces, $e(X)- s(X)=q(X)\,g(X)$ está en el código. Si el peso de Hamming de $e(X)$ es a lo sumo $t$ entonces $e(X)- s(X)$ posee un peso de Hamming a lo sumo $2t$. Ya que $C$ corrige a lo más $t$ errores, su distancia mínima es $2t+1$. Por tanto $e(X)- s(X)=0$ y $e(X)=s(X)$. La segunda aseveración se sigue de ésta inmediatamente. $\Box$

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