Conjuntos algebraicos sobre el campo de los complejos

Para un conjunto de polinomios ${\cal P}=\{P_0({\bf X}),\ldots,P_{k-1}({\bf X})\}\subset\mathbb{C}[{\bf X}]$ sea

$$Z({\cal P}) =\bigcap_{\kappa=0}^{k-1}P_{\kappa}^{-1}(0) = \{x\in\mathbb{C}^n\vert \forall\kappa\in[\![0,k-1]\!]: P_{\kappa}(x)=0\}$$

el conjunto algebraico afín determinado por ${\cal P}$ , y sea ${\cal I}({\cal P}) = ({\cal P})$ el ideal generado por ${\cal P}$ en $\mathbb{C}[{\bf X}]$ . Se tiene $Z({\cal I}({\cal P})) = Z({\cal P})$ .

Para un conjunto $A\subset\mathbb{C}^n$ , el ideal anulador de $A$ es ${\cal I}(A)=\{P({\bf X})\in\mathbb{C}[{\bf X}]\vert \forall x\in A: P(x)=0\}$ .

Para un punto ${\bf x}=(x_0,\ldots,x_{n-1})\in\mathbb{C}^n$ , consideremos la familia de polinomios ${\cal P}_{\bf x} =\left(X_j - x_j\right)_{j=0}^{n-1}$ . Entonces $Z({\cal P}_{\bf x}) = \{{\bf x}\}$ , ${\cal I}({\cal P}_{\bf x})=\sum_{j=0}^{n-1}\mathbb{C}[{\bf X}](X_j - x_j)$ , y éste es un ideal maximal. Se escribe ${\cal M}_{\bf x} ={\cal I}({\cal P}_{\bf x})$ .

Sea Spec$(\mathbb{C}[{\bf X}])$ la colección de ideales maximales en $\mathbb{C}[{\bf X}]$ y sea $\psi:\mathbb{C}^n\to$Spec$(\mathbb{C}[{\bf X}])$ , ${\bf x}\mapsto{\cal M}_{\bf x}$ .

Proposición 2.10 (Versión débil del Nullstellensatz)   Todo ideal maximal de $\mathbb{C}[{\bf X}]$ es de la forma ${\cal M}_{\bf x}$ para algún ${\bf x}\in\mathbb{C}^n$ . De hecho $\psi$ es una biyección.

Para un ideal ${\cal I}\subset\mathbb{C}[{\bf X}]$ sea $Z({\cal I}) = \{{\bf x}\in\mathbb{C}^n\vert {\cal I}\subset{\cal M}_{\bf x}\}$ el conjunto algebraico afín determinado por ${\cal I}$ . Se denota por ${\cal I}_Z = {\cal I}(Z({\cal I}))$ al ideal anulador del conjunto algebraico afín determinado por ${\cal I}$ . El cociente $\mathbb{C}[Z] =\mathbb{C}[{\bf X}]/{\cal I}_Z$ se llama el anillo de coordenadas del conjunto afín $Z({\cal I})$ . Como una $\mathbb{C}$ -álgebra, $\mathbb{C}[Z]$ está generada por las clases $\overline{X}_j = X_j+{\cal I}_Z$ de las funciones ``coordenadas'' $X_j$ , $j\in[\![0,n-1]\!]$ .

Proposición 2.11   Hay una correspondencia biyectiva entre $Z$ y Spec$(\mathbb{C}[Z]) = \{$ideales maximales de $\mathbb{C}[Z]\}$ . Con la topología de Zariski, ambos espacios son homeomorfos.