Producto fibrado de variedades

Proposición 2.9   Una $\mathbb{K}$ -álgebra $R$ es isomorfa al anillo de coordenadas de una variedad afín si y sólo si $R$ es finitamente generada y su cero es el único elemento nilpotente en $R$ , es decir:

$$\forall f\in R:\left[\left(\exists\ell\in\mathbb{N}: f^{\ell} = 0\right) \Longrightarrow f=0\right].$$

Si $X,Y,S$ son tres conjuntos no-vacíos y $f_X:X\to S$ , $f_Y:Y\to S$ son dos funciones, se define el producto de fibra:

$$X\times_S Y = \{ (x,y)\in X\times Y\vert f_X(x) = f_Y(y)\}.$$

Las siguientes propiedades son inmediatas:

• $S = \{s\} \Longrightarrow X\times_S Y = X\times Y.$
• $X,Y\subset S \& f_X,f_Y$ son las inclusiones$\Longrightarrow X\times_S Y \approx X\cap Y.$
• $Y = \{s\}\subseteq S \Longrightarrow X\times_S Y \approx f_X^{-1}(s).$

Se tiene que vale la siguiente Propiedad Universal de Producto de Fibra:

Si $\phi_X:W\to X$ y $\phi_Y:W\to Y$ son funciones tales que $f_X\circ\phi_X = f_Y\circ\phi_Y$ entonces existe una única función $\nu:W\to X\times_S Y$ que hace conmutativo el diagrama

$$\xymatrix{ W \ar@/^/[rrd]^{\phi_X} \ar@/_/[rdd]_{\phi_Y} \ar@{.{>... ...es_S Y \ar[r]_{\pi_X} \ar[d]^{\pi_Y} & X \ar[d]_{f_X} \ & Y \ar[r]^{f_Y} & S }$$ (12)

Ya que $X\times_S Y = (f_X,f_Y)^{-1}($diag$_S)$ , donde diag$_S\subset S^2$ es la diagonal de $S^2$ , se tiene que $X\times_S Y$ adquiere una estructura natural de variedad inducida por la de $S^2$ .

Ahora, recordamos que para tres variedades $X$ , $Y$ y $S$ ocurre $X=$Spec$(\mathbb{K}[X])$ , $Y=$Spec$(\mathbb{K}[Y])$ y $S=$Spec$(\mathbb{K}[S])$ . Supongamos que $f_X^{\star}:\mathbb{K}[S]\to \mathbb{K}[X]$ y $f_Y^{\star}:\mathbb{K}[S]\to \mathbb{K}[Y]$ son dos homomorfismos de $\mathbb{K}$ -álgebras (de hecho, se tiene asociadas correspondientes funciones $f_X:X\to S$ y $f_Y:Y\to S$ según la observación 2.2) y consideremos el producto $\mathbb{K}[X]\otimes_{\mathbb{K}[S]}\mathbb{K}[Y]$ , que es en sí una $\mathbb{K}[S]$ -álgebra. En ella, consideremos su ideal $N$ consistente de sus elementos nilpotentes (alguna potencia de cada uno de ellos se anula). Entonces el cociente $(\mathbb{K}[X]\otimes_{\mathbb{K}[S]}\mathbb{K}[Y])/N$ es un anillo de coordenadas y, necesariamente, se ha de tener $X\times_S Y =$   Spec$\left((\mathbb{K}[X]\otimes_{\mathbb{K}[S]}\mathbb{K}[Y])/N\right)$ .