Conos

Dados $r$ vectores $x_0,\ldots,x_{r-1}\in\mathbb{R}^n$ su cono poliédrico consiste de todas las combinaciones lineales de esos vectores con coeficientes no-negativos,

$$C(x_0,\ldots,x_{r-1}) = \{\sum_{j=0}^{r-1}a_j x_j\vert \forall j: a_j\geq 0\},$$

del cual los vectores $x_0,\ldots,x_{r-1}$ se dicen ser generadores. La mónada $\{0\}\subset\mathbb{R}^n$ es el cono generado por el conjunto vacío. La dimensión del cono $C(x_0,\ldots,x_{r-1})$ es la del mínimo espacio lineal que lo contiene.

Un cono $C=C(x_0,\ldots,x_{r-1})$ es fuertemente convexo si $C\cap(-C)=\{0\}\}$ .

Sea $R_n\subset\mathbb{R}^n$ un retículo, $R_n\approx\mathbb{Z}^n$ . Un cono reticular es un cono cuyos generadores están en $R_n$ .

Sea $\mathbb{R}^{n\star}$ el dual de $\mathbb{R}^n$ , y sea $\langle \cdot\vert\cdot \rangle :\mathbb{R}^{n\star}\times\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ la evaluación de funcionales lineales. Para un cono $C=C(x_0,\ldots,x_{r-1})$ , su cono dual es $\check{C} = \{f\in\mathbb{R}^{n\star}\vert \forall x\in C: \langle f\vert x \rangle \geq 0\}.$

Para el retículo $R_n$ se tiene que su dual $R_n^{\star}=$Hom$_Z(R_n,\mathbb{Z})$ es isomorfo a $\mathbb{Z}^n$ y se identifica naturalmente con un subconjunto de $\mathbb{R}^{n\star}$ .

Se tiene que si $C$ es un cono poliédrico, su dual $\check{C}$ también lo es. Si $C$ es un cono reticular, su dual $\check{C}$ también lo es.

Lema 3.1   Si $C=C(x_0,\ldots,x_{r-1})$ es reticular, entonces $\check{C}=\bigcap_{j=0}^{r-1}\check{C}(x_j)$ .

Sea $f\in \check{C}\cap R_n^{\star}$ . El conjunto $\gamma_f=C\cap f^{\perp} = \{x\in C\vert \langle f\vert x \rangle =0\}$ se dice ser una cara de $C$ . Se escribe $\gamma_f<C$ . El cono $C$ es una cara de sí mismo (basta considerar $f=0$ ). Las caras de dimensión 1 se llaman aristas. Se tiene que toda cara de un cono poliédrico es también un cono poliédrico, la intersección de dos caras es una cara y toda cara de una cara es una cara.

Proposición 3.1   Se cumplen las propiedades siguientes:

• $\gamma<C \Longrightarrow \check{C}\subset\check{\gamma}$ .
• $C = C_0+C_1 \Longrightarrow \check{C} = \check{C}_0\cap \check{C}_1$ .
• $\gamma_f=C\cap f^{\perp} \Longrightarrow \check{\gamma}_f = \check{C} + \mathbb{R}^+(-f)$ .

El interior de un cono $C$ consta de todas las combinaciones lineales de $\dim(C)$ generadores, con coeficientes estrictamente positivos.

Proposición 3.2   Si $\gamma<C$ entonces $\check{C}\cap\gamma^{\perp}$ es una cara de $\check{C}$ tal que $\dim(\gamma) + \dim(\check{C}\cap\gamma^{\perp}) = n$ . Esto determina una correspondencia entre las caras de $C$ y las de $\check{C}$ .

Lema 3.2   Si $C$ es un cono, entonces $C\cap R_n$ es un monoide.

Lema 3.3 (Gordon)   Si $C$ es un cono reticular, entonces $C\cap R_n$ es un monoide finitamente generado.

Proposición 3.3   Sea $C$ un cono reticular y $\gamma_f = C\cap f^{\perp}$ una cara de $C$ , con $f\in \check{C}\cap R_n^{\star}$ . Entonces, $(\check{\gamma}_f\cap R_n^{\star}) = (\check{C}\cap R_n^{\star}) + \mathbb{Z}^+(-f)$ .