Abanicos

Sea $M\cong\mathbb{Z}^n$ un retículo y sea $M^*=$Hom$(M,\mathbb{Z})$ su retículo dual. Se tiene pues una transformación bilineal $\langle \cdot\vert\cdot \rangle :M^*\times M\to\mathbb{Z}$ . Extendiendo los retículos a $\mathbb{R}$ , se tiene una transformación bilineal $\langle \cdot\vert\cdot \rangle :(M^*\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{R})\times(M\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{R})\to\mathbb{Z}$ .

Un cono poliédrico racional fuertemente convexo es un conjunto $C\subset M\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{R}$ tal que

• es un cono: $\left[{\bf x}\in C , r\in\mathbb{R}^+ \Longrightarrow r{\bf x}\in C\right]$ ,
• es un poliedro, es decir, la intersección de un número finito de semiespacios,
• es racional, es decir, los semiespacios que lo determinan a su vez están determinados por ecuaciones polinomiales con coeficientes en $\mathbb{Q}$ ,
• y es fuertemente convexo, es decir, el único espacio lineal que contiene es la mónada que consta del origen.

El dual del cono $C$ es $\check{C} = \{{\bf y}\in M^*\vert \langle \bf y\vert\bf x \rangle =0 , \forall {\bf x}\in C\}$ . Una cara de $C$ es de la forma $C\cap{\bf y}^{\perp}$ para alguna ${\bf y}\in\check{C}$ .

Un abanico (fan) en $M$ es una colección finita ${\cal F}$ de poliedros racionales fuertemente convexos tal que

• toda cara de un cono en ${\cal F}$ es un cono en ${\cal F}$ , y
• la intersección de cualesquiera dos conos en ${\cal F}$ es una cara de cada uno de esos conos.

El soporte del abanico es Spt$({\cal F}) = \bigcup_{C\in{\cal F}}C$ . Un abanico puede verse como una descomposición de $M\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{R}$ por poliedros racionales fuertemente convexos.

Para un cono $C\in{\cal F}$ sea $S_C = M^*\cap C^{\perp} = \{{\bf y}\in M^*\vert \langle {\bf y}\vert{\bf x} \rangle =0 , \forall{\bf x}\in C\}$ .

Proposición 3.4   Con las notaciones anteriores:

• $S_C$ es un semigrupo. Es decir ${\bf0}\in S_C$ y $\left[{\bf y}_0,{\bf y}_1\in S_C \Rightarrow {\bf y}_0+{\bf y}_1\in S_C\right]$ .
• $S_C$ es finitamente generado: $\exists{\bf y}_0,\ldots,{\bf y}_{k-1}\in M^*$ , $S_C=\left\{\sum_{\kappa=0}^{k-1}z_{\kappa}{\bf y}_{\kappa}\vert \left(z_{\kappa}\right)_{\kappa=0}^{k-1}\in(\mathbb{Z}^+)^k\right\}$ .
• $S_C$ genera a $M^*$ como un grupo: $S_C+(-S_C) = M^*$ .
• $S_C$ es saturado: $\forall{\bf y}\in M^* , z\in\mathbb{Z}^+\left[z{\bf y}\in S_C \Rightarrow {\bf y}\in S_C\right]$ .

Viceversa, todo subgrupo $S<M^*$ que cumple con las propiedades anteriores es de la forma $S=S_C$ para algún cono $C\subset M\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{R}$ poliédrico racional fuertemente convexo.