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Abanicos

Sea $ M\cong\mathbb{Z}^n$ un retículo y sea $ M^*=$Hom$ (M,\mathbb{Z})$ su retículo dual. Se tiene pues una transformación bilineal $ \langle \cdot\vert\cdot \rangle :M^*\times M\to\mathbb{Z}$ . Extendiendo los retículos a $ \mathbb{R}$ , se tiene una transformación bilineal $ \langle \cdot\vert\cdot \rangle :(M^*\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{R})\times(M\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{R})\to\mathbb{Z}$ .

Un cono poliédrico racional fuertemente convexo es un conjunto $ C\subset M\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{R}$ tal que

El dual del cono $ C$ es $ \check{C} = \{{\bf y}\in M^*\vert \langle \bf y\vert\bf x \rangle =0 , \forall {\bf x}\in C\}$ . Una cara de $ C$ es de la forma $ C\cap{\bf y}^{\perp}$ para alguna $ {\bf y}\in\check{C}$ .

Un abanico (fan) en $ M$ es una colección finita $ {\cal F}$ de poliedros racionales fuertemente convexos tal que

El soporte del abanico es Spt$ ({\cal F}) = \bigcup_{C\in{\cal F}}C$ . Un abanico puede verse como una descomposición de $ M\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{R}$ por poliedros racionales fuertemente convexos.

Para un cono $ C\in{\cal F}$ sea $ S_C = M^*\cap C^{\perp} = \{{\bf y}\in M^*\vert \langle {\bf y}\vert{\bf x} \rangle =0 , \forall{\bf x}\in C\}$ .

Proposición 3.4   Con las notaciones anteriores:

Viceversa, todo subgrupo $ S<M^*$ que cumple con las propiedades anteriores es de la forma $ S=S_C$ para algún cono $ C\subset M\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{R}$ poliédrico racional fuertemente convexo.


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Guillermo Morales-Luna 2011-10-19