Divisores monopuntuales

Sean $\mathbb{K}$ un campo y Q una curva. Un divisor monopuntual es uno donde su soporte es una mónada, es decir es de la forma ${\bf d} = m {\bf e}_{\bf a}$ para algún punto $\mathbb{K}$ -racional ${\bf a}\in$Q , $m\in\mathbb{Z}$ . En tal caso $L({\bf d})$ consta de las funciones $f\in\mathbb{K}($Q$)$ tales que ${\bf d}_f^- = \ell {\bf e}_{\bf a}$ , con $\ell\leq m$ . Sea

$$H({\bf a}) = \{\ell\in\mathbb{N}\vert \exists f\in\mathbb{K}($$Q$$): {\bf d}_f^- = \ell {\bf e}_{\bf a}\},$$

llamado el semigrupo de Weierstrass en ${\bf a}$ . Los enteros en $\mathbb{N}-H({\bf a})$ se dicen ser huecos para ${\bf a}$ , y por mera contraposición, los de $H({\bf a})$ llenos para ${\bf a}$ .

Proposición 5.1   Las siguientes aseveraciones son verdaderas:

• La dimensión del espacio $L(m {\bf e}_{\bf a})$ es el número de enteros llenos para ${\bf a}$ que no exceden $m$ .
• Cualquier entero $\ell\geq 2g$ es lleno para todo ${\bf a}\in$Q .
• En cada ${\bf a}\in$Q hay exactamente $g$ huecos para ${\bf a}$ .

Corolario 5.2   Si $g\geq 1$ existe al menos un hueco en cada punto ${\bf a}\in$Q . Ya que $H({\bf a})$ es un semigrupo, $1$ siempre es lleno para cada ${\bf a}\in$Q .

Lema 5.2   Sea $\left(f_j\right)_{j=0}^{r-1}\subset L(m {\bf e}_{\bf a})$ una sucesión de funciones racionales tales que las valuaciones $\left(v_{{\bf a}}(f_j)\right)_{j=0}^{r-1}$ sean distintas a pares. Entonces las funciones $\left(f_j\right)_{j=0}^{r-1}$ son linealmente independientes.