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Códigos de Goppa

Consideremos $ \mathbb{K}=\mathbb{F}_q$ , donde $ q=p^m$ es una potencia de un primo. Utilizaremos la notación introducida en las secciones previas. Sea Q una curva y sea $ A_n =\{{\bf a}_0,\ldots,{\bf a}_{n-1}\}\subset$Q un conjunto de $ n$ puntos $ \mathbb{F}_q$ -racionales. Sea $ {\bf d}_{A_n}=\left(d_{\bf a}\right)_{{\bf a}\in\mbox{\scriptsize\rm Q}}\in{\bf D}_{\mbox{\scriptsize\rm Q}}$ un divisor tal que $ \forall j\leq n-1$ , $ d_{{\bf a}_j}=0$ , es decir $ A_n\cap$Spt$ ({\bf d}_{A_n})=\emptyset$ . Sea $ e_{A_n}:L({\bf d}_{A_n})\to\mathbb{F}_q^n$ , $ f\mapsto e_{A_n}(f) = \left(f({\bf a}_j)\right)_{j=0}^{n-1}$ , la cual es, evidentemente, una transformación lineal. Sea $ {\bf e}_{A_n}$ el divisor definido como $ {\bf e}_{A_n} = \sum_{j=0}^{n-1}{\bf e}_{{\bf a}_j}$ . Se define el código de Goppa asociado a los divisores $ {\bf e}_{A_n},{\bf d}_{A_n}$ como $ C_{{\bf e}_{A_n}{\bf d}_{A_n}} = e_{A_n}(L({\bf d}_{A_n})) < \mathbb{F}_q^n$ .

Lema 5.3   Sea $ k=\dim C_{{\bf e}_{A_n}{\bf d}_{A_n}}$ y $ d$ la distancia mínima de $ C_{{\bf e}_{A_n}{\bf d}_{A_n}}$ . Entonces:

Proposición 5.2   Sea $ g$ el género de la curva Q$ =Z(Q(X_0,X_1,X_2))$ .
  1. Si gr$ ({\bf d}_{A_n}) < n$ entonces $ k =\ell({\bf d}_{A_n})$ . Por tanto, $ k\geq$   gr$ ({\bf d}_{A_n}) + 1 - g$ y en consecuencia $ d+k \geq n+1-g$ . Se tendrá que una matriz generatriz del código $ C_{{\bf e}_{A_n}{\bf d}_{A_n}}$ es de la forma $ M=\left(f_i({\bf a_j})\right)_{0\leq i\leq k}^{0\leq j\leq n-1}$ donde $ \{f_0,\ldots,f_{k-1}\}$ es una $ \mathbb{F}_q$ -base del espacio $ L({\bf d}_{A_n})$ .
  2. Si $ 2g-2 <$   gr$ ({\bf d}_{A_n}) < n$ entonces $ k =$   gr$ ({\bf d}_{A_n}) + 1 - g$ .

Por la cota de Singleton, se tendrá que si gr$ ({\bf d}_{A_n}) < n$ , entonces $ n+1-g \leq d+k \leq n+1$ .

Proposición 5.3   Existe un divisor canónico $ {\bf w}$ tal que $ C_{{\bf e}_{A_n}{\bf d}_{A_n}}^{\perp} = C_{{\bf e}_{A_n},{\bf e}_{A_n}-{\bf d}_{A_n}+{\bf w}}$ .


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Guillermo Morales-Luna 2011-10-19