Producto tensorial de módulos

Sean $R$ un anillo y $M,N$ dos $R$ -módulos. Un $R$ -módulo $T$ , junto con una transformación bilineal $\beta:M\times N\to T$ , es un producto tensorial de $M,N$ sobre $R$ si satisface la siguiente Propiedad Universal del Producto Tensorial:

Para cualquier $R$ -módulo $S$ , si $\beta':M\times N\to S$ es una transformación bilineal entonces existe un único homomorfismo de $R$ -módulos $\phi:T\to S$ tal que $\beta' = \phi\circ\beta$ , es decir, que hace conmutativo el diagrama

$$\xymatrix{ M\times N \ar[r]^{\beta} \ar[rd]_{\beta'} & T \ar@{.{>}}[d]^{\phi} \ & S }$$ (8)

Una construcción directa consiste del $R$ -módulo libre $R^{M\times N}$ , con la base natural $\left({\bf e}_{(x,y)}\right)_{(x,y)\in M\times N}$ , reducido por el submódulo $L$ de $R^{M\times N}$ generado por los elementos de las formas:

$${\bf e}_{(x_0+x_1,y)} - {\bf e}_{(x_0,y)} - {\bf e}_{(x_1,y)} ... ...{\bf e}_{(rx,y)} - {\bf e}_{(x,ry)} , r{\bf e}_{(x,y)} - {\bf e}_{(rx,y)}$$

con $x,x_0,x_1\in M$ , $y,y_0,y_1\in N$ y $r\in R$ . $T = (R^{M\times N})/L$ . La transformación $\beta$ es la composición de funciones $(x,y)\mapsto {\bf e}_{(x,y)}\mapsto \pi({\bf e}_{(x,y)}) = [{\bf e}_{(x,y)}]$ . Se denota, usualmente, al producto tensorial como $H=M\otimes_R N$ (por lo general la transformación $\beta$ en general queda supuesta), y a los elementos en la base canónica se les escribe ${\bf e}_{(x,y)} = {\bf e}_x\otimes{\bf e}_y$ , por lo que cualquier elemento de $M\otimes_R N$ se expresa como $\sum_{(x,y)\in I} r_{(x,y)} {\bf e}_x\otimes{\bf e}_y$ , con coeficientes $r_{(x,y)}\in R$ en el anillo $R$ , para un conjunto finito $I\subset M\times N$ .

Proposición 1.6   Para cualquier $R$ -módulo $M$ se tiene $M\otimes_R R = M$ .

En efecto, consideremos la transformación bilineal dada por el producto por escalares, $\beta: M\times R\to M$ , $(x,r)\mapsto\beta(x,r) = r x$ . Si $S$ es un $R$ -módulo cualquiera y $\beta':M\times R\to S$ es una transformación bilineal, entonces $\phi:x\mapsto\phi(x) = \beta(x,1)$ es el único $R$ -homomorfismo $M\to S$ tal que $\beta' = \phi\circ\beta$ .

Proposición 1.7   El producto tensorial ``es'' conmutativo, asociativo y distributivo. Es decir, para cualesquiera $R$ -módulos:

• $M\otimes_R N = N\otimes_R M$ ,
• $(L\otimes_R M)\otimes_R N = L\otimes_R (M\otimes_R N)$ ,
• $\left(\bigoplus_{i\in I}M_i\right)\otimes_R N = \bigoplus_{i\in I}\left(M_i\otimes_R N\right)$ .

En efecto, estas relaciones se siguen de la propiedad universal (8).

Se dice que un complejo de $R$ -módulos es una sucesión $\left((M_i,f_i)\right)_{i\in I}$ , donde $f_i:M_i\to M_{i+1}$ es un homomorfismo de $R$ -módulos, tal que $\forall i$ , $f_{i+1}\circ f_i = 0$ . Tal complejo se escribe más bien

$$\cdots\to M_i\stackrel{f_i}{\longrightarrow} M_{i+1}\stackrel{f_{i+1}}{\longrightarrow} M_{i+2}\to\cdots$$

y se dice que es exacto si img$(f_i) =$   ker$(f_{i+1})$ .

Así, se tiene que $0\longrightarrow M\stackrel{f}{\longrightarrow} N$ es exacta si y sólo si $f$ es inyectiva y $M\stackrel{f}{\longrightarrow} N\longrightarrow 0$ lo es si y sólo si $f$ es suprayectiva.

Proposición 1.8 (Exactitud derecha del producto tensorial)   Si se tiene una sucesión exacta

$$M_0\stackrel{f_0}{\longrightarrow} M_1\stackrel{f_1}{\longrightarrow} M_2\longrightarrow 0$$

de $R$ -módulos, entonces para cualquier $R$ -módulo $N$ , es exacta la sucesión

$$M_0\otimes_R N\stackrel{f_{0N}}{\longrightarrow} M_1\otimes_R N\stackrel{f_{1N}}{\longrightarrow} M_2\otimes_R N\longrightarrow 0,$$

donde, para $i=0,1$ , $f_{iN}$ es el homomorfismo que hace conmutativo al diagrama

$$\xymatrix{ M_i\times N \ar[d]_{\beta_i} \ar[r]^{(f_i,\mbox{\scrip... ...ar[d]^{\beta_{i+1}} \\ M_i\otimes_R N \ar[r]_{f_{iN}} & M_{i+1}\otimes_R N }$$