Producto tensorial de álgebras

Sea $R$ un anillo. Una $R$ -álgebra es un anillo $A$ junto con un homomorfismo de anillos $\alpha:R\to A$ . En tal caso, $A$ es también un $R$ -módulo con el producto por escalares $(r,x)\mapsto \alpha(r) x$ .

Sean $A_0$ , $A_1$ dos $R$ -álgebras. Una $R$ -álgebra $B$ , junto con dos homomorfismos de $R$ -álgebras $p_0:A_0\to B$ , $p_1:A_1\to B$ , es un producto tensorial de $A_0,A_1$ si satisface la siguiente Propiedad Universal del Producto Tensorial:

Para cualquier $R$ -álgebra $C$ , y para cualesquiera dos homomorfismos de $R$ -álgebras $q_0:A_0\to C$ , $q_1:A_1\to C$ , existe un único homomorfismo de $R$ -álgebras $\phi:B\to C$ tal que $q_0 = \phi\circ p_0$ y $q_1 = \phi\circ p_1$ , es decir, que hace conmutativo el diagrama

$$\xymatrix{ A_0 \ar[r]^{p_0} \ar[rd]_{q_0} & B \ar@{.{>}}[d]^{\phi} & A_1 \ar[l]_{p_1} \ar[ld]^{q_1} \ & C }$$ (9)

Consideremos por un momento a las $R$ -álgebras $A_0$ , $A_1$ como $R$ -módulos. Sea $B=A_0\otimes_R A_1$ su producto tensorial de módulos. La transformación $g:A_0\times A_1\times A_0\times A_1\to B$ , $(a_{00},a_{10},a_{01},a_{11})\mapsto (a_{00} a_{01})\otimes(a_{10} a_{11})$ es multilineal, por lo cual puede factorizarse mediante una transformación bilineal $\hat{g}:B\otimes_R B\to B$ . Con este producto, $B$ es una $R$ -álgebra, y junto con las funciones $p_0:A_0\to A_0\otimes_R A_1$ y $p_1:A_1\to A_0\otimes_R A_1$ , $p_0:r_0\mapsto r_0\otimes 1_{A_1}$ y $p_1:r_1\mapsto 1_{A_0}\otimes r_1$ que son homomorfismos de $R$ -álgebras, cumple con la propiedad universal (9). Así pues, el producto tensorial de $R$ -álgebras es $A_0\otimes_R A_1$ .