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Producto tensorial de álgebras

Sea $ R$ un anillo. Una $ R$ -álgebra es un anillo $ A$ junto con un homomorfismo de anillos $ \alpha:R\to A$ . En tal caso, $ A$ es también un $ R$ -módulo con el producto por escalares $ (r,x)\mapsto \alpha(r) x$ .

Sean $ A_0$ , $ A_1$ dos $ R$ -álgebras. Una $ R$ -álgebra $ B$ , junto con dos homomorfismos de $ R$ -álgebras $ p_0:A_0\to B$ , $ p_1:A_1\to B$ , es un producto tensorial de $ A_0,A_1$ si satisface la siguiente Propiedad Universal del Producto Tensorial:

Para cualquier $ R$ -álgebra $ C$ , y para cualesquiera dos homomorfismos de $ R$ -álgebras $ q_0:A_0\to C$ , $ q_1:A_1\to C$ , existe un único homomorfismo de $ R$ -álgebras $ \phi:B\to C$ tal que $ q_0 = \phi\circ p_0$ y $ q_1 = \phi\circ p_1$ , es decir, que hace conmutativo el diagrama

$\displaystyle \xymatrix{ A_0 \ar[r]^{p_0} \ar[rd]_{q_0} & B \ar@{.{>}}[d]^{\phi} & A_1 \ar[l]_{p_1} \ar[ld]^{q_1} \ & C }$ (9)

Consideremos por un momento a las $ R$ -álgebras $ A_0$ , $ A_1$ como $ R$ -módulos. Sea $ B=A_0\otimes_R A_1$ su producto tensorial de módulos. La transformación $ g:A_0\times A_1\times A_0\times A_1\to B$ , $ (a_{00},a_{10},a_{01},a_{11})\mapsto (a_{00} a_{01})\otimes(a_{10} a_{11})$ es multilineal, por lo cual puede factorizarse mediante una transformación bilineal $ \hat{g}:B\otimes_R B\to B$ . Con este producto, $ B$ es una $ R$ -álgebra, y junto con las funciones $ p_0:A_0\to A_0\otimes_R A_1$ y $ p_1:A_1\to A_0\otimes_R A_1$ , $ p_0:r_0\mapsto r_0\otimes 1_{A_1}$ y $ p_1:r_1\mapsto 1_{A_0}\otimes r_1$ que son homomorfismos de $ R$ -álgebras, cumple con la propiedad universal (9). Así pues, el producto tensorial de $ R$ -álgebras es $ A_0\otimes_R A_1$ .
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Guillermo Morales-Luna 2011-10-19