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Funciones exponenciales

Sean a,b>0. Tenemos que

$$\frac{a^x}{b^x}=\left(\frac{a}{b}\right)^x\mathop{\longrighta... ...rm si }a=b \\ +\infty &\mbox{\rm si }a>b \end{array}\right.$$

Y por tanto, $a^x=o(b^x)\;\Leftrightarrow\;a<b.$ Sin embargo, como $b^x = a^{\log_a(b^x)} = a^{x\cdot\log_a(b)},$ se tiene $b^x\in a^{O(x)}.$ En este sentido, es irrelevante el tamaño de la base de exponenciación, la cual puede ser 2, e o 10. La clase de funciones con crecimiento exponencial es pues $\mbox{\it Exp}=\bigcup_{k\geq 0}e^{O(n^k)}.$ Por otro lado, la serie de Taylor de la función exponencial es $e^x=\sum_{n\geq 0}\frac{1}{n!}x^n.$ Luego, $\forall k\in N$

$$\begin{eqnarray*}\frac{e^x}{x^k} &=& \sum_{n\geq 0}\frac{1}{n!}x^{n-k} \\ &=& ... ...)!}x^{m-1-k} +\frac{1}{k!} +\sum_{m\geq 1}\frac{1}{(k+m)!}x^{m} \end{eqnarray*}$$

por lo cual

$$\frac{e^x}{x^k}\mathop{\longrightarrow}_{x\rightarrow +\infty} 0 +\frac{1}{k!} +\infty=+\infty,$$

es decir, x^k=o(e^x). En otras palabras, la función exponencial domina asintóticamente a cualquier polinomial.