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Funciones logarítmicas

Sean a,b>0. Tenemos que $\forall x>0$: $\log_a(x)=\log_a(b)\log_b(x).$ Por tanto $\log_a(x)\asymp \log_b(x).$ Así pues podemos considerar al logaritmo natural $x\mapsto \ln x=\log_e(x)$ como representativa de la clase de las funciones con crecimiento logarítmico $\mbox{\it Log}=O(\log x).$ La función logaritmo está dominada asintóticamente por la identidad. En efecto, como

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{\ln x}{x}\right)=\frac{1}{x^2}(1-\ln x),$$

tenemos que el cociente $\frac{\ln x}{x}$ es estrictamente decreciente, y positivo, en el intervalo $]e,+\infty[$. En particular para la sucesión de puntos x_n=eⁿ tenemos ${\displaystyle \frac{\ln x_n}{x_n}=\frac{n}{e^n}\mathop{\longrightarrow}_{x\rightarrow +\infty} 0.}$ Así pues $\ln x = o(x)$.