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Productos de vectores y espacios

Sea $U$ un espacio vectorial sobre el campo $\mathbb{C}$ de los números complejos. Denotemos por ${\cal L}(U,V)$ al espacio de transformaciones lineales de $U$ en $V$. El dual del espacio $U$ es $U^*={\cal L}(U,\mathbb{C})$. Si $u^*\in U^*$ escribimos, para cada $u\in U$, $\langle u^*\vert u \rangle :=u^*(u)$. $\langle \cdot\vert\cdot \rangle : U^*\times U\to\mathbb{C}$ es una transformación bilineal.

Sea $V$ otro espacio vectorial también sobre $\mathbb{C}$. El producto tensorial de $U$ con $V$ es $U\otimes V={\cal L}(V^*,U)$. Se tiene:

Propiedad 1.1   $U\times V$ se identifica con un subconjunto de $U\otimes V$.

En efecto, consideremos $\Phi:U\times V \to U\otimes V$ tal que $\forall (u,v)\in U\times V$, $\Phi(u,v)\in {\cal L}(V^*,U)$ es la transformación $\Phi(u,v):w^*\mapsto \langle w^*\vert v \rangle u$. Claramente $\Phi$ es bilineal. Se tiene que $\Phi(u_1,v_1) = \Phi(u_2,v_2)$ si y sólo si existe $k\in\mathbb{C}$ tal que $(u_1,v_1) = (ku_2,k^{-1}v_2)$. Esta última condición define una relación de equivalencia $\equiv_0$ en $U\times V$. Así pues, el espacio cociente $(U\times V)/\equiv_0$ se identifica con un subespacio de $U\otimes V$. De hecho, la aplicación $\Phi(u,v)\in {\cal L}(V^*,U)$ se denota como $u\otimes v=\Phi(u,v)$ y se dice ser el producto tensorial del vector $u$ con el vector $v$. Debido a la linealidad de los operadores involucrados se tiene que valen las relaciones siguientes:

$$\begin{eqnarray*} (zu)\otimes v &=& z(u\otimes v) \\ u \otimes (zv) &=& z(u\ot... ...mes v)\\ u\otimes (v_1+v_2) &=& (u\otimes v_1) + (u\otimes v_2) \end{eqnarray*}$$

Resulta claro que el producto tensorial de vectores no es conmutativo, ni siquiera cuando $U=V$.

Propiedad 1.2   Si $\dim{U}=m$ y $\dim{V}=n$ entonces $\dim(U\otimes V)=mn$.

En efecto, si $V$ es de dimensión finita, entonces su dual $V^*$ es de la misma dimensión, $n$, y obviamente $\dim({\cal L}(V^*,U))=nm$.

Así pues, si $U=\mathbb{C}^m$ y $V=\mathbb{C}^n$ entonces, prácticamente, $U\otimes V=\mathbb{C}^{mn}$.

Propiedad 1.3   Si $B_U=\{u_0,u_1,\ldots,u_{m-1}\}$ es una base de $U$ y $B_V=\{v_0,v_1,\ldots,v_{n-1}\}$ es una base de $V$ entonces $\left(u_i\otimes v_j\right)_{i< m,j< n}$ es una base de $U\otimes V$, donde, para cada $i,j$, $u_i\otimes v_j$ es la aplicación $w^*=\sum_{k=0}^{n-1} w_j v_j^* \mapsto w_j u_i$. Esta base se dice ser la base producto.

En efecto, $B_{V^*}=\{v_0^*,v_1^*,\ldots,v_{n-1}^*\}$ es una base del dual $V^*$, donde $\langle v_{j_1}^*\vert v_{j_2} \rangle =\delta_{j_1j_2}$. Ahora, respecto a las bases $B_U$ y $B_V$, la aplicación $u_i\otimes v_j$ se representa mediante la matriz $D_{ij}=\left(\delta_{i_1j_1ij}\right)_{i_1< m,j_1< n}$, donde $\delta_{i_1j_1ij}=1$ si y sólo si $(i_1,j_1)=(i,j)$ y $\delta_{i_1j_1ij}=0$ si y sólo si $(i_1,j_1)\not=(i,j)$. De manera un poco más general, escribamos cada $u\in U$ como $u=\sum_{i=0}^{m-1} a_iu_i$ y $v=\sum_{j=0}^{n-1} b_jv_j$, también cada $w^*\in V^*$ como $w^*=\sum_{j=0}^{n-1} c_jv_j^*$. En consecuencia, $\langle w^*\vert v \rangle = \sum_{j=0}^{n-1} b_jc_j$, y $(u\otimes v)(w^*) = \sum_{i=0}^{m-1} a_i\left(\sum_{j=0}^{n-1} b_jc_j\right)u_i$.

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