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Productos de transformaciones lineales

Supongamos que $U_1,U_2$, $V_1,V_2$ son espacios vectoriales, de dimensiones respectivas $m_1,m_2$ y $n_1,n_2$, y que $K:U_1\to U_2$ y $L:V_1\to V_2$ son sendas transformaciones lineales. Las transformaciones lineales duales $K^*:U_2^*\to U_1^*$ y $L^*:V_2^*\to V_1^*$ están definidas mediante las relaciones

$$\begin{eqnarray*} \langle K^*(u_2^*)\vert u_1 \rangle &=& \langle u_2\vert K(u_1... ..._2^*)\vert v_1 \rangle &=& \langle v_2\vert L(v_1) \rangle %%\\ \end{eqnarray*}$$

Propiedad 1.4   Si $K$ se representa, respecto a bases $B_{U_1}$ y $B_{U_2}$, mediante una matriz $M_K\in\mathbb{C}^{m_2\times m_1}$ entonces $K^*$ se representa, respecto a las bases duales, mediante la matriz traspuesta $M_K^T\in\mathbb{C}^{m_1\times m_2}$.

Ahora definamos una transformación $K\otimes L: U_1\otimes V_1\to U_2\otimes V_2$ haciendo $(K\otimes L)(u_1\otimes v_1)= K(u_1)\otimes L(v_1)$.

Propiedad 1.5   Si $K$ se representa, respecto a bases $B_{U_1}$ y $B_{U_2}$, mediante la matriz $M_K\in\mathbb{C}^{m_2\times m_1}$ y $L$ se representa, respecto a bases $B_{V_1}$ y $B_{V_2}$, mediante la matriz $M_L\in\mathbb{C}^{n_2\times n_1}$ entonces $(K\otimes L)$ se representa, respecto a las bases productos, mediante la matriz producto tensorial $M_K\otimes M_L\in\mathbb{C}^{m_2n_2\times m_1n_1}$ siguiente:

$$M_K\otimes M_L = \left[\begin{array}{cccc} m^{(K)}_{00}M_L &... ...L & \cdots & m^{(K)}_{m_2-1,m_1-1}M_L %%\\ \end{array}\right]$$

Ahora bien, si $U$ es un espacio vectorial de dimensión $m$ y $K:U\to U$ es lineal, definimos recursivamente: $K^{\otimes 1}=K$, $K^{\otimes n}=K^{\otimes (n-1)}\otimes K$. Naturalmente, $K^{\otimes n}$ es la $n$-ésima potencia tensorial de $K$. Si $M_K = \left(m_{ij}\right)_{i,j< m}$ es la matriz cuadrada de orden $m$ que representa a $K$ respecto a una cierta base $B_U$, se tiene que $K^{\otimes n}$ quedará representada por la matriz $M_{K^{\otimes n}} = \left(m_{ij}^{(n)}\right)_{i,j< m^n}$ determinada como sigue:

Cada índice entero $i< m^n$ se escribe en base $m$ como una palabra de $n$ dígitos $0,\ldots,m-1$, $i=\sum_{\iota=0}^{n-1} \xi_{\iota} m^{\iota} = \left(\xi_{n-1}\cdots \xi_{1}\xi_{0}\right)_m = \mbox{\boldmath$\xi$}(i)$. Para una tal palabra $\mbox{\boldmath$\xi$}=\xi_{n-1}\cdots \xi_{1}\xi_{0}$, definamos $\mbox{car}(\mbox{\boldmath$\xi$})=\xi_{0}$ y $\mbox{cdr}(\mbox{\boldmath$\xi$})=\xi_{n-1}\cdots \xi_{1}$. Evidentemente, vistas las palabras como representaciones de números en base $m$: $(\mbox{\boldmath$\xi$})_m = m(\mbox{cdr}(\mbox{\boldmath$\xi$}))_m + \mbox{car}(\mbox{\boldmath$\xi$})$, $\mbox{car}(\mbox{\boldmath$\xi$}) = \mbox{\boldmath$\xi$}\mbox{ mod }m$ y $\mbox{cdr}(\mbox{\boldmath$\xi$})=(\mbox{\boldmath$\xi$} - \mbox{car}(\mbox{\boldmath$\xi$}))/m$.

Debido a la propiedad 1.5, se tiene la recurrencia

$$m_{\mbox{\scriptsize\boldmath$\xi$}(i),\mbox{\scriptsize\bol... ...),\mbox{\scriptsize car}(\mbox{\scriptsize\boldmath$\xi$}(j))}$$ (1)

con la cual es posible calcular las entradas de la matriz $M_{K^{\otimes n}}$ siguiendo las representaciones en base $m$ de los índices correspondientes.

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