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Postulado de medición

En [2] se presentó la base de la computación cuántica.

Sea $\mathbb{C}$ el campo de los números complejos, y para cada $m,n$ sea $\mathbb{C}^{m\times n}$ el espacio de matrices de orden $m\times n$, es decir, de matrices con $m$ renglones y $n$ columnas, con entradas números complejos. Para cada matriz $M=\left(m_{ij}\right)_{i,j}\in\mathbb{C}^{m\times n}$ su transpuesta hermitiana es $M^H=\left(m_{ji}^H\right)_{ji}\in\mathbb{C}^{n\times m}$ donde para cada pareja de índices $(i,j)\in[\![0,m-1]\!]\times [\![0,n-1]\!]$, $m_{ji}^H=\overline{m_{ij}}$ (si $z=a+ib\in\mathbb{C}$ es un número complejo, naturalmente $\overline{z}=a-ib\in\mathbb{C}$ es su conjugado). Una matriz $M=\left(m_{ij}\right)_{i,j}\in\mathbb{C}^{m\times n}$ se dice ser unitaria si $M^HM=\mbox{\bf 1}_{nn}$, donde $\mbox{\bf 1}_{nn}$ denota a la matriz identidad de orden $n\times n$.

Al subconjunto consistente de los vectores columnas unitarias en $\mathbb{C}^{m\times 1}$ (es decir, el espacio de vectores columnas de dimensión $m$) se le llama conjunto de estados de un sistema físico cerrado, y la dimensión $m$ se conoce como el grado de libertad del sistema. En $\mathbb{C}^{m\times 1}$ se tiene que cada estado es un vector en la esfera euclidiana unitaria de $\mathbb{C}^m$. Sea pues $E_m=\{\mbox{\bf v}\in\mathbb{C}^m \vert 1=\mbox{\bf v}^H\mbox{\bf v}=:\langle \mbox{\bf v}\vert\mbox{\bf v} \rangle \}$ el conjunto de estados.

Sea $\mbox{\bf e}_j =\left(\delta_{ij}\right)_{i< m}$ el $j$-ésimo vector de la base canónica de $\mathbb{C}^m$. Se tiene que todo vector de la base canónica es un estado. Se dice que un estado $\mbox{\bf v}=\left(v_{i1}\right)_{i< m}$ produce la salida $i$ con una probabilidad $\vert v_{i1}\vert^2 = \mbox{Re}(v_{i1})^2 + \mbox{Im}(v_{i1})^2$. Se tiene el siguiente

Postulado de Medición:

Si el estado actual es $\mbox{\bf v}=\left(v_{i1}\right)_{i< m}$ entonces, para cada $i< m$, con probabilidad $\vert v_{i1}\vert^2$ se realiza lo siguiente: Se emite la respuesta $i$ y se transita al estado $\mbox{\bf e}_i$; es decir este último será el estado actual en el paso siguiente.

De hecho el proceso de medición se realiza al final de cualquier algoritmo cuántico, así que el último estado actual al que se refiere en su enunciado es el estado final.

Ahora, sea $U\in\mathbb{C}^{m\times m}$ una matriz unitaria cuadrada de orden $m\times m$. $U$ determina una transformación ortogonal $\mathbb{C}^m\to\mathbb{C}^m$: $\mbox{\bf v}\mapsto U\mbox{\bf v}$. De hecho, al restringirla a $E_m$ se tiene una transformación $E_m\to E_m$. $U$ se dice ser una compuerta cuántica. Un algoritmo cuántico es la composición de un número finito de compuertas cuánticas.

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