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qubits y palabras de longitud finita

En particular, para $m=2$, la base canónica del espacio $\mathbb{H}_1=\mathbb{C}^2$ consta de los vectores $\mbox{\bf e}_{0}=\left[ 1\ \ 0\right]^T$ y $\mbox{\bf e}_{1}=\left[ 0\ \ 1\right]^T$. Si $z_0,z_1\in \mathbb{C}$ son complejos tales que $\vert z_0\vert^2 + \vert z_1\vert^2 = 1$, entonces $z_0\mbox{\bf e}_{0}+z_1\mbox{\bf e}_{1}$ es un estado, llamado qubit, apócope inglés de bit cuántico (quantum bit).

Identificamos al primer vector básico $\mbox{\bf e}_{0}$ con el valor de verdad falso, o cero, y al segundo $\mbox{\bf e}_{1}$ con el valor de verdad verdadero, o uno. Así pues, cada estado es una ``superposición'' de ambos valores cero y uno.

Para cada $n> 1$, definimos recursivamente $\mathbb{H}_n=\mathbb{H}_{n-1}\otimes\mathbb{H}_1$. De aquí resulta que $\dim(\mathbb{H}_n)=2^n$ y una base de este espacio es $B_{\mathbb{H}_n}=\left(\mbox{\bf e}_{\varepsilon_{n-1}\cdots\varepsilon_{1}\var... ...0}}\right)_{\varepsilon_{n-1},\ldots,\varepsilon_{1},\varepsilon_{0}\in\{0,1\}}$, donde, puesto de manera recursiva, $\mbox{\bf e}_{\varepsilon_{n-1}\cdots\varepsilon_{1}\varepsilon_{0}} = \mbox{\bf e}_{\varepsilon_{n-1}\cdots\varepsilon_{1}}\otimes\mbox{\bf e}_{\varepsilon_{0}}$. Aquí queremos llamar la atención del lector para que tome en cuenta el cambio de nuestra notación respecto a la asumida de manera convencional en el mundo de la Física y de la Computación Cuántica. En general se suele escribir

$$\left\vert\varepsilon_{n-1}\cdots\varepsilon_{1}\varepsilon_... ...psilon_{1}\right\rangle \left\vert\varepsilon_{0}\right\rangle$$ (2)

Evidentemente, cada índice $i\in[\![0,2^n-1]\!]$ puede escribirse en binario como una cadena de bits de longitud $n$: $i=\left(\varepsilon_{n-1}\cdots\varepsilon_{1}\varepsilon_{0}\right)_2$. Así pues identificaremos a cada índice con la cadena que lo representa: $i\leftrightarrow \mbox{\boldmath$\varepsilon$}=\varepsilon_{n-1}\cdots\varepsilon_{1}\varepsilon_{0}$. Mediante esta identificación: $[\![0,2^n-1]\!]\approx \{0,1\}^n$.

Si $\mbox{\bf z}\in E_{2^n}$ es un vector en la esfera unitaria euclidiana en $\mathbb{H}_n$ entonces $\sum_{\mbox{\scriptsize\boldmath$\varepsilon$}\in\{0,1\}^n} z_{\mbox{\scriptsize\boldmath$\varepsilon$}} \mbox{\bf e}_{\mbox{\scriptsize\boldmath$\varepsilon$}}$ es un estado correspondiente a una palabra de información de longitud $n$, y es también la concatenación de $n$ qubits.

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