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Series sobre los racionales

Sea $\mbox{\bf X}=(X_1,\ldots,X_n)$ una lista de n variables. Una serie racional sobre $I\!\!\!\!Q$ es de la forma $p(\mbox{\bf X})=\sum_{\mbox{\bf i}\in I\!\!N^n}p_{\mbox{\bf i}}\mbox{\bf X}^{\mbox{\bf i}}$, con $p_{\mbox{\bf i}}\in I\!\!\!\!Q$, y $\mbox{\bf X}^{\mbox{\bf i}}=X_1^{i_1}\cdots X_n^{i_n}$. Denotamos por $I\!\!\!\!Q[[\mbox{\bf X}]]$ a la colección de todas las series racionales sobre $\mbox{\bf X}$. La siguiente proposición es verdadera:

Proposición 5.1   $I\!\!\!\!Q[[\mbox{\bf X}]]$ tiene una estructura de anillo conmutativo con la suma y el producto convencionales de series. Más aún, forma un dominio entero:

\begin{displaymath}p(\mbox{\bf X})q(\mbox{\bf X})=0\Rightarrow (p(\mbox{\bf X})=0)\mbox{\rm\'o }(q(\mbox{\bf X})=0).\end{displaymath}

Además, los elementos invertibles en $I\!\!\!\!Q[[\mbox{\bf X}]]$ son aquellos cuyo coeficiente ``independiente'' no es nulo:

\begin{displaymath}\exists q(\mbox{\bf X})\in I\!\!\!\!Q[[\mbox{\bf X}]]:\left(\...
...ht)q(\mbox{\bf X})=1 \;\Leftrightarrow\; p_{\mbox{\bf0}}\not=0.\end{displaymath}

En el dominio de series $I\!\!\!\!Q[[\mbox{\bf X}]]$ es posible , bajo determinadas circunstancias, resolver ecuaciones de la forma $\mbox{\bf X}=F(\mbox{\bf X})$.

Proposición 5.2   La ecuación $X=\frac{1}{1-p(\mbox{\bf X})}$ tiene como solución $X=\sum_{m=0}^{+\infty} \left(p(\mbox{\bf X})\right)^m$.

En efecto, $\sum_{m=0}^{M} \left(p(\mbox{\bf X})\right)^m=\frac{1-\left(p(\mbox{\bf X})\right)^{M+1}}{1-p(\mbox{\bf X})}$. Así pues, en el conjunto de puntos $\mbox{\bf x}\in I\!\!\!\!Q^n$ tales que $p(\mbox{\bf x})<1$ se ha de tener que $\sum_{m=0}^{+\infty} \left(p(\mbox{\bf x})\right)^m=\frac{1}{1-p(\mbox{\bf x})}$. La igualdad de la serie con una función analítica dentro de un conjunto en $I\!\!\!\!Q^n$ con interior no vacío hace que la igualdad valga en el dominio $I\!\!\!\!Q[[\mbox{\bf X}]]$.

Proposición 5.3   La ecuación $X=\sum_{k=0}^K a_k(Y)X^k$, donde cada coeficiente ak es una forma polinomial en Y, se resuelve mediante un sistema de ecuaciones recurrentes.

En efecto, escribamos $X=\sum_{m=0}^{+\infty} b_mY^m$. De la ecuación, se tiene

\begin{displaymath}\sum_{k=2}^K a_k(Y)X^k+(a_1(Y)-1)X+a_0(Y)=0,\end{displaymath}

al sustituir X se tiene
 
0 = $\displaystyle \sum_{k=2}^K a_k(Y)X^k+(a_1(Y)-1)X+a_0(Y)$  
  = $\displaystyle \sum_{k=2}^K a_k(Y)\left(\sum_{m=0}^{+\infty} b_mY^m\right)^k+(a_1(Y)-1)\left(\sum_{m=0}^{+\infty} b_mY^m\right)+a_0(Y)$ (56)
  = $\displaystyle \sum_{j=0}^J g_j(\mbox{\bf b}) Y^j$  

donde cada gj se obtiene al expander las expresiones en 6.1. Así pues se ha de tener que, $\forall j\leq J:g_j(\mbox{\bf b})=0$. Ejemplo. Resolver en $I\!\!\!\!Q[[X,Y]]$ la ecuación

 
X2+(Y-1)X+Y=0 (57)

Escribamos $X=\sum_{m=0}^{+\infty} b_mY^m$. Al tomar cuadrados $X^2=\sum_{m=0}^{+\infty} c_mY^m$, donde para cada $m\geq 0$, $c_m=\sum_{k=0}^mb_{m-k}b_k$. Es decir,

\begin{displaymath}c_m=\left\{\begin{array}{ll}
2\left(\sum_{k=0}^{\frac{m-1}{2...
...mbox{\rm si $m\equiv 0\mbox{\rm mod }2$. }
\end{array}\right.\end{displaymath}

Al sustituir en 6.2 tenemos

\begin{eqnarray*}0 &=& \sum_{m=0}^{+\infty} c_mY^m +(Y-1)\sum_{m=0}^{+\infty} b_...
..._0)+ (c_1-b_1+b_0+1)Y+\sum_{m=2}^{+\infty} (c_m-b_m+b_{m-1})Y^m
\end{eqnarray*}


y consecuentemente se tiene el sistema de ecuaciones recurrentes

\begin{eqnarray*}0 &=& c_0-b_0 \\
0 &=& c_1-b_1+b_0+1 \\
\forall m\geq 2:\ \ 0 &=& c_m-b_m+b_{m-1}
\end{eqnarray*}


Recordando las expresiones para cm obtenemos el sistema de recurrencias equivalente

\begin{displaymath}\begin{array}{rclcl}
0 &=& b_0^2-b_0 &=& b_0(b_0+1) \\
0 &...
...\left(\sum_{k=1}^{m-1} b_kb_{m-k}\right) + b_{m-1}
\end{array}\end{displaymath}

Así pues, para b0 hay dos posibles valores, 0,1. Fijo b0 los demás coeficientes se calculan recurrentemente mediante las relaciones

\begin{eqnarray*}b_1 &=& \frac{1+b_0}{1-2b_0} \\
\forall m\geq 2:\ \ b_m &=& \...
...}\left( b_{m-1}+\left(\sum_{k=1}^{m-1} b_kb_{m-k}\right)\right)
\end{eqnarray*}


Las dos soluciones corresponden precisamente a que la ecuación 6.2 es de grado 2 y por tanto tiene dos raices.


Un antiguo método para resolver en $I\!\!\!\!Q[[Y]]$ ecuaciones de la forma X=F(X,Y), donde F es una función afín de la forma F(X,Y)=Yf(X)+c, es debido a Lagrange.

Proposición 5.4 (Lagrange)   Para una ecuación de la forma X=Yf(X)+c, donde $c\in I\!\! R$, y para una función derivable $g:I\!\! R\rightarrow I\!\! R$ se tiene que la expresión g(X) satisface la ecuación

\begin{displaymath}g(X)=g(c)+\sum_{m\geq 1} \frac{1}{m!}\left[\left.\frac{\texts...
...dx^{m-1}}\left(g'(x)f(x)^m\right)\right\vert _{x=c}\right] Y^m.\end{displaymath}

En particular, para g(x)=x, o sea, para la función identidad, se tiene

 \begin{displaymath}X=c+\sum_{m\geq 1} \frac{1}{m!}\left[\left.\frac{\textstyle d...
...e dx^{m-1}}\left(f(x)^m\right)\right\vert _{x=c}\right] Y^m.
\end{displaymath} (58)

En efecto, supongamos por un momento que c=0. Puesto que X=Yf(X) y $f(0)=e_0\not=0$ se tiene que $Y=\frac{X}{f(X)}$ puede expresarse como una serie de potencias $Y=\sum_{n\geq 1} a_nX^n$. Dada la función g, se busca expresar a g(X) como una serie de potencias en Y, es decir, se busca coeficientes $\left(b_m\right)_{m\geq 0}\subset I\!\!\!\!Q$ tales que

 \begin{displaymath}g(Y)=\sum_{\nu\geq 0}b_{\nu}Y^{\nu}
\end{displaymath} (59)

Como para X=0 se tiene Y=0, a fortiori

 
b0=g(0) (60)

Por otro lado, al derivar, respecto a X la ecuación 6.4 se tiene

\begin{displaymath}\frac{\textstyle dg}{\textstyle dX}=\sum_{\nu\geq 0}\nu b_{\nu}Y^{\nu-1}\frac{\textstyle dY}{\textstyle dX},\end{displaymath}

al multiplicar por f(X)m, con $m\geq 1$, resulta

\begin{displaymath}g'(X)f(X)^m=\sum_{\nu\geq 0}\nu b_{\nu}Y^{\nu-1}f(X)^m\frac{\textstyle dY}{\textstyle dX},\end{displaymath}

y como $f(X)=\frac{X}{Y}$ se tiene

 \begin{displaymath}g'(X)f(X)^m=\sum_{\nu\geq 0}\nu b_{\nu}Y^{\nu-m-1}X^m\frac{\textstyle dY}{\textstyle dX}
\end{displaymath} (61)

Estimemos cada uno de los sumandos en la serie de la derecha. Consideremos dos casos: Ahora bien, al derivar la ecuación 6.6 m-1 veces respecto a X, en el punto X=0, se obtiene el coeficiente de la potencia Xm-1 multiplicado por el factorial m!. Es decir,

\begin{displaymath}\left.\frac{\textstyle d^{m-1}}{\textstyle dX^{m-1}}\left(f(X)^m\right)\right\vert _{X=0}=(m-1)!mb_m,\end{displaymath}

y en consecuencia

\begin{displaymath}b_m=\frac{1}{m!}\left.\frac{\textstyle d^{m-1}}{\textstyle dX^{m-1}}\left(f(X)^m\right)\right\vert _{X=0}.\end{displaymath}

Así pues, esto último junto con 6.5 y 6.4 da

 \begin{displaymath}g(X)=g(0)+\sum_{m\geq 1} \frac{1}{m!}\left[\left.\frac{\texts...
...{m-1}}\left(g'(x)f(x)^m\right)\right\vert _{x=0}\right] Y^m.
\end{displaymath} (62)

Finalmente, para $c\not=0$, renombremos como Z a la variable en 6.7, y luego introduzcamos el cambio de variable X=Z+c. Se obtiene así la ecuación

\begin{displaymath}g(X)=g(0)+\sum_{m\geq 1} \frac{1}{m!}\left[\left.\frac{\texts...
...x^{m-1}}\left(g'(x)f(x)^m\right)\right\vert _{x=c}\right] Y^m. \end{displaymath}


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Guillermo Morales-Luna
2000-06-27