Planteamiento

Las ideas principales para la elaboración del presente documento las dió el Dr. Harold V. McIntosh durante el curso de Análisis Númerico I que impartió durante el primer semestre de 1992 en el Colegio de Computación.

Sabemos de los cursos de Cálculo que si una función es continua y derivable se puede aproximar por un polinomio de Taylor. El estudio de las propiedades de los polinomios es importante porque en algunas aplicaciones se emplean para aproximar funciones. Las preguntas que surgen es qué tan precisa es la aproximación y si se comportan en forma parecida a la función que aproximan. Recordemos que a una función de la forma

$$P(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+ \cdots +a_1x+a_0$$

donde las a_i, llamadas coeficientes de P, son constantes y $a_n \neq 0$, se le llama un polinomio de grado n. Generalmente se pide encontrar los valores de la variable x que anulan a la función esto es P(x) = 0. A la x que anula a la función se le llama raíz.

En el curso de Análisis Numérico I se estudiaron funciones de variable compleja, se dijo también que algunas funciones de variable compleja se pueden aproximar a través de polinomios complejos, y en particular se indicó se estudiara la función exponencial y se aproximara por medio de un polinomio de Taylor. Dos preguntas nos guiarían en su estudio:

a)

¿La funcion e^z tiene ceros? Es decir para que valores de z se tiene que e^z=0.

b)

¿Cuáles son los ceros del polinomio de Taylor que aproxima a e^z?

Estas dos preguntas nos conducen a otras:

i)

Si e^z tiene ceros, entonces, ¿los ceros del pol. de Taylor que la aproxima son los mismos?

ii)

Si e^z no tiene ceros, entonces, ¿qué ocurre con los ceros del polinomio de Taylor que la aproxima?

iii)

¿Se puede predecir el comportamiento de los ceros del polinomio de Taylor que aproxima a e^z?