Funciones Complejas

La primera definición que haremos es la de una función compleja; de hecho se define de la misma manera que una función real.

Definición 1 (Función Compleja)   Si para cualquier valor de z en un dominio $G\subset C$, le corresponde un único valor complejo w, entonces el mapeo ${\cal F} :z\rightarrow w$ es una función definida en el dominio G.

Definición 2 (Límite de una función)   Una función ${\cal F} (z)$ tiene un límite A cuando $z\rightarrow a$

$$\lim_{z\rightarrow a} {\cal F} (z) = A$$

si y solo si se cumple lo siguiente:
Para cualquier $\varepsilon >0$ existe un $\delta >0$ tal que si

$$0 < \vert z-a\vert < \delta$$

entonces

$$\vert {\cal F} (z) - A\vert < \varepsilon$$

La continuidad en funciones complejas es similar a la continuidad de las funciones reales:

Definición 3 (Continuidad)   Una función $w = {\cal F} (z)$ es continua en el punto z si, para cualquier $\epsilon >0$ existe un un $\delta >0$ tal que:

$$\vert {\cal F} (z+\Delta z) - {\cal F} (z) \vert < \epsilon \... ...x siempre\;\; que} \hspace{.2in}\vert\Delta z\vert < \delta$$

Definición 4 (Continuidad Uniforme)   Se dice que una función ${\cal F} (z)$ es uniformemente continua en un conjunto G si a cualquier $\varepsilon$ le corresponde un $\delta$ tal que para dos puntos cualesquiera $z,w \in G$ tales que $\vert w-z\vert < \delta$ tenemos

$$\vert {\cal F} (w) - {\cal F} (z)\vert < \varepsilon$$

Si ${\cal F} (z)$ es continua en un conjunto cerrado y acotado entonces es uniformemente continua.

Definición 5 (Función Holomorfa)   Si una función es uniforme y continua, y poseé una derivada definida y continua en cualquier punto, entonces se dice que es holomorfa en el punto.

Definición 6 (Función diferenciable)   Sea la función ${\cal F} (z)$ definida en una vecindad del punto z. Si el cociente de la diferencia

$$\frac{\Delta {\cal F} }{\Delta z} = \frac{ {\cal F} (z+\Delta z) - {\cal F} (z)}{\Delta z}$$

tiende a un límite finito A siempre que $\Delta z$ tiende a cero, entonces el número de A es llamada la derivada de F en el punto z y se denota como:

$${\cal F} '(z) = A = \lim_{\Delta z\rightarrow 0} \frac{\Delta {\cal F} }{\Delta z}$$

Definición 7 (Función Analítica)   Una función ${\cal F} (z)$ de una variable compleja z es analítica en z=a si tiene una expansión como serie de potencias

$${\cal F} (z) = \sum_{r=0}^{\infty} c_r(z-a)^r$$

con coeficientes constantes $c_1, c_2, \ldots$, que converge absoluta y uniformemente en algún círculo |z-a|<k, con k>0.

Otro punto de vista de una función analítica es respecto a la diferenciabilidad.

Definición 8 (Función Analítica)   Decimos que una función ${\cal F}$ es analítica en una región $G\subset C$ si es diferenciable en cada punto de la región.

De hecho una función es analítica en un dominio G si las funciones u(x,y) y v(x,y) son diferenciables en G y cumplen las ecuaciones de direfenciabilidad de Cauchy-Riemann^1.1:

$$\begin{eqnarray*}\frac{du}{dx} & = & \frac{dv}{dy} \\ \frac{du}{dy} & = & -\frac{dv}{dx} \end{eqnarray*}$$

Si ${\cal F} (z)$ es analítica y diferente de cero en cualquier punto, en cualquier región, o en el plano completo, así lo es $\frac {1}{ {\cal F} (z)}$.