next up previous contents
Next: Singularidades Up: Preliminares Previous: Funciones Complejas

   
Raíces

Una raíz de una fución compleja $ {\cal F} $ es un punto $c \in D$ tal que

 \begin{displaymath}{\cal F} (c) = 0
\end{displaymath} (1.1)

donde D es el dominio de $ {\cal F} $.

Si una función $ {\cal F} (z)$ es analítica en C, y si el desarrollo de Cauchy-Taylor en c es

 \begin{displaymath}\sum_{n=k}^{\infty} a_n (z -c)^n
\end{displaymath} (1.2)

con $a_k \neq 0$, entonces se dice que $ {\cal F} (z)$ tiene un cero de orden k en c.

Note que la serie inicia en el k-ésimo término, veamos porque los coeficientes $a_1, a_2, \ldots,$ ak-1 son ceros. Tomemos la expresión 1.2 desde el primer termino:

\begin{displaymath}\sum_{n=0}^{\infty} a_n (z - c)^n
= a_0 + a_1(z-c)^1 + a_2(...
...+ a_3(z-c)^3 + a_4(z-c)^4 +
a_5(z-c)^5 + a_6(z-c)^6 + \cdots
\end{displaymath}

Y puesto que si un punto c es un cero de orden k, entonces las derivadas (k-1)-ésimas de la función $ {\cal F} (z)$ evaluadas en c son ceros.

Mostremos de manera explícita la forma de las derivadas, hasta la k-ésima :


\begin{eqnarray*}f^{(1)}(z) & = & 1a_1 + 2a_2(z-c)^1 + 3a_3(z-c)^2 + 4a_4(z-c)^3...
...} a_{k+i}(z-c)^i
\hspace{1in} \mbox{para $k \geq 1$\space } \\
\end{eqnarray*}


Entonces :

\begin{eqnarray*}f^{(1)}(c) & = & 0 \\
f^{(2)}(c) & = & 0 \\
f^{(3)}(c) & = & ...
... & \\
f^{(k-1)}(c) & = & 0 \\
f^{(k)}(c) & = & {(k)!}a_{k} \\
\end{eqnarray*}


Así tenemos que $a_1, a_2, \ldots, a_{k-1}$ son iguales a cero y $a_k \neq 0$.

Por ejemplo: si c es un cero de orden n=3, tenemos que :

\begin{eqnarray*}f^{(1)}(c) & = & 0 \\
f^{(2)}(c) & = & 0 \\
f^{(3)}(z) & = & 1\cdot2\cdot3a_3 \\
\end{eqnarray*}


entonces a1 = 0, a2 = 0 y $a_3 \neq 0 $.

La expresión 1.2 puede factorizarse respecto a el término (z - c) y ésta queda como el producto de dos funciones:

\begin{displaymath}{\cal F} (z) = g(z) h(z)
\end{displaymath}

Con

\begin{eqnarray*}g(z) & = & (z - c) \\
h(z) & = & a_k (z-c)^{k-1} + a_{k+1} (z -c)^{k} + \cdots \\
\end{eqnarray*}


Es decir podemos ``factorizar el cero'' de la función.

En esta sección solo nos resta decir que los ceros de una función no constante son aislados , lo que equivale a decir que si c es un cero, no hay ceros arbitrariamente próximos a c.


next up previous contents
Next: Singularidades Up: Preliminares Previous: Funciones Complejas
Microcomputadoras
2001-03-09