Discusión de los diferentes tipos de graficas.

a)

Gráficas de las coordenadas como funciones del tiempo. En el capítulo 2 se discutió la subrutina GRAF que es la encargada de realizar estas gráficas y sobre las consideraciones de rangos de graficación, escalas, etc. Veremos ahora con mayor cuidado un ejemplo: En el encabezado están listados los valores de algunas de las constantes que intervienen en el problema como son los valores iniciales, la energía, la constante $\alpha$ y los valores de las cargas, según los valores de estas últimas, lo que podemos esperar es que el movimiento tienda a desarrollarse del lado del segundo centro, eso será favorecido también por el valor inicial del momento asociado a la coordenada $\eta$ cuyo valor cero está sobre el eje vertical que estamos representando por la letra I. Las variaciones de la coordenada $\phi$ nos van a indicar qué tan rápido es el giro de la partícula alrededor del eje $Z$, en el ejemplo que estamos presentando lo que se nota es que al final del intervalo que se considera aquí tiende a girar cada vez mas rápido. Cuando el valor de una de las coordenadas $\xi$ o $\eta$ es constante entenderemos que el movimiento ocurre sobre la superficie de un elipsoide o de un hiperboloide aunque puede haber pequeñas desviaciones como en la curva para la coordenada $\xi$ del ejemplo. Teniendo presente todo lo que acaba de decirse, una vista rápida a la gráfica, nos dice, que la partícula se acerca rápidamente en espiral hacia el segundo centro que es lo que esperábamos; eso lo vamos a ver en la siguiente gráfica.

b)

Representación espacial del movimiento. Las gráficas II y III nos permiten observar las órbitas para los diferentes casos de interés en el problema. Mientras que las curvas del inciso a) nos dan solamente una idea de lo que está ocurriendo, aquí podemos tener una representación visual de las trayectorias. La gráfica II es una proyección del movimiento en el plano $X-Y$ y la número III, la variación de las coordenadas $\rho$-$z$, donde $\rho$ es el radio cilíndrico y el eje $z$, es la línea donde están colocados los dos centros, este último viene representado en la gráfica por el eje horizontal, estando los dos centros en las columnas 40 y 80 respectivamente; la variable $\rho$ crece hacia arriba y no toma valores negativos, como ya se sabe, esa es la razón por la cual el cero para dicha variable se tomó al pie de la página. Al observar estas gráficas, podemos comprobar lo que se dijo en el inciso anterior; a medida que se desarrolla el movimiento se observa que al final la partícula se precipita hacia el segundo centro, eso se ve en la gráfica III, en la II se oberva cómo la partícula gira alrededor del eje $Z$ que corresponde al origen de $x-y$. Un problema que se tiene con estas gráficas es que la escasa resolución no permite construir fácilmente las órbitas cuando aparecen muchos puntos, pero eso se corrige en parte si se escoge un número pequeño de puntos para tener sólo una porción pequeña de la trayectoria; desafortunadamente, el número adecuado de puntos para cada caso, sólo puede escogerse una vez que hemos obtenido una gráfica, así, cuando deseamos tener una porción mejor definida de ella, debemos correr por segunda vez el programa para ese ejemplo.

c)

Puntos de Retorno. Hemos discutido también ya en otro capítulo este tipo de gráficas. Recuérdese que los momentos $p_\xi$ y $p_\eta$ están expresados en función de raíces de polinomios de cuarto grado. Estas gráficas corresponden precisamente a los polinomios para $\xi$ y para $\eta$, a la primera se le representa por el signo (+) y a la segunda por un asterisco. Como se ha listado, tanto los valores de la variable como los de los dos polinomios para cada punto de las gráficas es fácil determinar con cierta presición para que valores de la variable las gráficas cruzan al eje (puntos de retorno) así como los valores que va tomando cada polinomio. Los únicos valores de la coordenada que tiene sentido considerar desde un punto de vista físico corresponden a aquellos para los cuales el correspondiente polinomio no es negativo, de esa manera podemos tener una idea de cuál es la región permitida, es decir, entre que valores de $\xi$ y de $\eta$ es posible tener confinada a una partícula. Ya hemos dicho muchas veces y lo decimos una vez más aquí, que sólo nos interesan los rangos en que puede variar cada coordenada; con eso en mente, observamos que el rango de valores permitido para la variable $\xi$ está comprendido aproximadamente entre 1.4 y 1.7, en tanto que para $\eta$ hay dos rangos posibles: el primero está entre -0.9 y -0.4, mientras que el segundo está entre 0.0 y 0.9. Con eso tenemos una idea de cual es la región permitida: concluimos de nuestro análisis que hay dos porciones del espacio en las cuales puede desarrollarse el movimiento; todavía no tenemos una representación visual, nos sucede lo mismo que con las curvas de que hablamos en el inciso a) y de la misma manera que en aquel caso, pasaremos a ver como se resuelve el problema, pero eso corresponde al siguiente inciso.

d)

Gráficas para la región permitida. Como ya se dijo, esta gráfica es complementaria de la que representa a los puntos de retorno, se vió en el apéndice (A) cómo obtener dichas gráficas, así es que no insistiremos más en eso. Lo que se tiene son una o varias zonas en blanco, que representan a la región permitida, eso es en dos dimensiones; para tres dimensiones basta con rotar la figura alrededor del eje horizontal. Hay que señalar que se está considerando el mismo caso para explicar como hay que interpretar las gráficas, así es que en el ejemplo V se verá todo lo que habíamos encontrado en las gráficas del inciso c): existen dos zonas permitidas debido a que hay dos rangos para $\eta$, los valores de las coordenadas pueden encontrarse de la manera siguiente: en la misma gráfica se verá una serie de elipses y de hipérbolas las cuales corresponden a diferentes valores de $\xi$ y $\eta$; los valores de la primera están tomados en intervalos de 0.5 así que entre dos elipses sucesivas el valor de $\xi$ difiere por 0.5 en tanto que para $\eta$ la diferencia entre dos hipérbolas es de 0.2. Ya con eso, no hay dificultad en determinar los rangos de valores para $\xi$ y para $\eta$ y verificar estos resultados con los de las gráficas del inciso anterior, aunque aquí no es muy precisa la escala; el estudio de estas gráficas es mas bien cualitativo y sirve para visualizar los resultados de TURN. Las gráficas tienen como encabezado los valores de algunas constantes que intervienen en el problema. Se dan los valores que tienen los momentos para ciertas $\xi$ y $\eta$ introducidas como valores iniciales. Hay casos en que algún momento resulta imaginario, apareciendo entonces un texto que así lo indica así como el valor de el polinomio de cuarto grado que le corresponde, aunque en ocasiones se da de todas maneras un valor para dicho momento pero eso es porque en el programa se trabaja con el valor absoluto del polinomio. En estas gráficas se puede ver como el cambio de una cualquiera de esas constantes del problema afecta a la región permitida; en la serie de gráficas presentadas aquí, lo que se ha variado es la energía y puede verse claramente como se manifiesta eso en el movimiento. Conociendo la región permitida lo que puede hacerse es seleccionar condiciones iniciales para el programa TWOC, calculando los momentos para datos iniciales en las coordenadas, previamente escogidos.

e)

Gráficas de las funciones: $f_1(\xi )$, $f_2(\xi )$, $s_1(\eta )$ y $s_2(\eta )$. Acerca de estas funciones ya se discutió bastante, conocemos ya todas sus variantes y en los ejemplos que vendrán después se pondran apreciar algunas de ellas. En la práctica no proporcionan ninguna información nueva, tal vez lo único interesante sería el visualizar para casos concretos de qué manera se comportan las curvas. Las funciones $f_1(\xi )$ y $s_1(\eta )$ son representadas por el signo (+) en tanto que para $f_2(\xi )$ y $s_2(\eta )$ se escogió el signo (-) también se grafica la recta de energía cero a la que se le representa por puntos; se grafican los hechos que corresponden a las posiciones -1 y +1 , los cuales son las asíntotas de $f_2(\xi )$ y $s_2(\eta )$. En los ejemplos que presentamos, se ha variado la energía de la misma manera que para las gráficas del inciso d), de modo que para cada gráfica de aquellas corresponde una parábola de estas dos gráficas, recuérdese como influye la energía en las características de las parábolas, así es que no es difícil determinar la correspondencia de cada una de estas curvas con cada una de las posibilidades de d). En los encabezados de las gráficas se escribe entre otras cosas los valores de las coordenadas para los que se han calculado los momentos en las gráficas para la región permitida. Al igual que en todos los ejemplos anteriores, es necesario tener presentes los rangos de validez para cada coordenada. Después de estas observaciones ya no es difícil entenderlas. Así como se varió la energía, se puede variar también la constante $\alpha$, o alguna de las que intervienen como parámetros en nuestras funciones. En nuestro ejemplo no se afectó la forma de $f_2(\xi )$ y $s_2(\eta )$ porque esas curvas no dependen directamente de la energía pero un cambio en las cargas magnéticas o en el momento $p_\phi$ sí las va a afectar; en el capítulo 1 se estudió qué papel desempeñan esas constantes con respecto a las posiciones de las curvas.

f)

Curvas de Energía Potencial Constante. En el capítulo 3 se habló de la subrutina CNTU y en el apéndice A, también se hizo mención a una subrutina semejante para el programa PRYPO, esas son las gráficas que presentaremos en nuestros ejemplos, es decir, las que se obtienen con la subrutina REGP. Se considera el potencial verdadero, o sea que no se incluye el potencial repulsivo mediante el que era posible separar variables. Se tiene una colección de franjas cuyos contornos corresponden a niveles de la misma energía potencial. Se grafican los ejes verticales en las posiciones -1 y 1 tanto para indicar la escala como para localizar en donde están colocados los dos centros. En esencia, ya no hay más qué decir sobre cómo entender las gráficas. En seguida se tienen algunos ejemplos.

Figure C.1:

Figure C.2:

Figure C.3:

Figure C.4:

Figure C.5:

Figure C.6: