Definición de Espacio Vectorial

En el estudio de las matemáticas o de la física, el término vector se aplica a una amplia variedad de objetos, principalmente a cantidades que representan magnitudes y dirección [LWJ98], ya sea un fuerza, una velocidad o una distancia. El término vector también se usa para describir entidades como matrices, polinomios o funciones.

Supongamos que tenemos un conjunto $\mathcal{V}$ donde para $x,y \in \mathcal{V}$ y $a,b$ escalares cumplen con las siguientes propiedades:

Propiedad de cerradura

$x+y \in \mathcal{V}$.

$ax \in \mathcal{V}$.

Propiedad de adición

$x+y = y+x$.

$x+(y+z) = (x+y)+z$.

$\mathcal{V}$ contiene al elemento 0 con $x+0=x , \forall x \in \mathcal{V}$.

Propiedad de multiplicación por un escalar

$a(bx)=(ab)x$.

$a(x+y)=ax+ay$.

$1x=x , \forall x \in \mathcal{V}$.

Entonces $\mathcal{V}$ se denomina un espacio vectorial. Podemos decir por lo anterior que en un espacio vectorial intervienen dos conjuntos, vectores y escalares, los segundos como coeficientes de los primeros. Los vectores forman un grupo abeliano con respecto a la adición (la suma es cerrada, asociativa, conmutativa, existe el elemento 0 y los negativos) y los escalares forman un campo con la inclusión del 0 y del $1$.

Dicho de manera informal, en un espacio vectorial te-nemos elementos los cuales podemos sumar entre ellos, alargarlos o contraerlos; un paso a seguir es encontrar todas las características estructurales de estos espacios. Para esto recurriremos a ideas provenientes del Álgebra Universal, tales como relaciones de orden, relaciones de equivalencia, mapeos de un conjunto a otro y la gene-ración de espacios más complejos por medio de productos cartesianos [McI99].