Homomorfismos

Un homorfismo es simplemente una mapeo contínuo que conmuta con el co-rrimiento. Para el espacio de configuraciones $\mathcal{C}$ y la regla de evolucion $\phi:K^{2r+1} \rightarrow K$ asociada a un autómata celular lineal, si dos configuraciones $\mathrm{C}_{i},\mathrm{C}_{j} \in \mathcal{C}$ son cercanas según $d(\mathrm{C}_{i},\mathrm{C}_{j})=(1+r)^{-1}$, entonces $\mathrm{C}_{i}$ y $\mathrm{C}_{j}$ tienen secuencias centrales idénticas de considerable longitud. De aquí, sus evoluciones $\phi({\mathrm{C}_{i}})$ y $\phi({\mathrm{C}_{j}})$ también coincidirán en una secuencia central con longitud ligeramente menor que en el caso de $\mathrm{C}_{i}$ y $\mathrm{C}_{j}$, de esta manera, $\phi$ define un mapeo global $\Phi:\mathcal{C} \rightarrow \mathcal{C}$ contínuo sobre $\mathcal{C}$ pues los conjuntos abiertos siguen permaneciendo así.

Otra propiedad de $\phi({\mathrm{C}_{i}})=\mathrm{C}_{j}$ es que conmuta con $\sigma:{\mathrm{C}_{i}} \rightarrow {\mathrm{C}_{j}}$ como lo demuestra Hedlund en [Hed69] de la siguiente manera:

$$\begin{array}{r} \sigma(\phi({\mathrm{C}_{i[-2r \ldots 2r]}})... ...]} \ldots \mathrm{C}_{i[2r-1]}})=\mathrm{C}_{j[1]}. \end{array}$$ (30)

Con lo anterior tenemos que el mapeo global $\Phi:\mathcal{C} \rightarrow \mathcal{C}$ inducido por $\phi$ es contínuo y conmuta con el corrimiento o lo que es lo mismo, es un homomorfismo, en particu-lar, como $\Phi$ es un mapeo de $\mathcal{C}$ a si mismo, define un endomorfismo.

Un resultado importante debido a Hedlund en [Hed69], es que todos los homomorfismo en un espacio topológico deben tener el funcionamiento de un autómata celular lineal. Sea $\Phi:\mathcal{C} \rightarrow \mathcal{C}$ un homomorfismo, entonces $\Phi(\mathrm{C}_{i}) \rightarrow \mathrm{C}_{j}$ es contínua. Como hemos hecho anteriormente $\mathrm{C}_{i}$ y $\mathrm{C}_{j}$ pueden ser especificados como elementos de dos cilindros disjuntos, dado que el mapeo es contínuo, entonces

$$\Phi(\mathfrak{C}_{0}({\mathrm{C}_{i[0]}})) \rightarrow \mathfrak{C}_{0}({\mathrm{C}_{j[0]}}).$$ (31)

Entonces, para $\mathrm{C}_{i_1},\mathrm{C}_{i_2} \in \mathfrak{C}_{0}({\mathrm{C}_{i[0]}})$ se tiene que $d(\mathrm{C}_{i_1},\mathrm{C}_{i_2})=(1+r)^{-1}<1$ pues comparten la misma parte central por lo que $r>0$; de esta forma:

$$\Phi(\mathrm{C}_{i_1[0]})=\Phi(\mathrm{C}_{i_2[0]})=\mathrm{C}_{j[0]}.$$ (32)

Así, la coordenada central de $\mathrm{C}_{j[0]}$ depende solamente de los bloques centrales $\mathrm{C}_{i_1[-r \ldots r]}$ y $\mathrm{C}_{i_2[-r \ldots r]}$, lo que re-presenta un mapeo de bloques de tamaño $2r-1$ a elementos de $K$ o lo que es lo mismo $\phi:K^{2r+1} \rightarrow K$, que es justamente el funcionamiento de un autómata celular lineal.