Conclusiones

La sección de conclusiones es, en cierto sentido, la más personal de un trabajo. Por ésto, cambiaré el tono más o menos impersonal del lenguaje usado en las secciones anteriores, más técnicas. Enumeraré a continuación las conclusiones que considero más relevantes sobre la presente tesis.

1. En la Introducción, las ecuaciones (3,4) son generalizaciones de las (1,2) las cuales no tienen más base que un propósito de simetrización; por lo tanto, los resultados que se obtienen de su aplicación tienen tan sólo este fundamento. Entonces, la definición misma de monopolo magnético no es obvia. Por ejemplo, se puede definir un monopolo magnético puntual como ``algo" cuya presencia implica la veracidad de la cuarta de las ecuaciones (3) de la Introducción en el punto en el cual se supone su existencia; en este caso, integrando la ecuación mencionada en una esfera de radio $\rho$, aplicando consideraciones de simetría radial y la expresión para la fuerza de Lorentz generalizada ( o sea, siguiendo un procedimiento análogo al empleado en Electrostática para obtener la ley de Coulomb a partir de la de Gauss), se obtiene una expresión para la fuerza entre dos monopolos magnéticos análoga a la obtenida en el caso eléctrico, la cual indica que dos monopolos con igual signo se repelen y dos con signos contrarios se atraen. Sin embargo, algunas personas, como Miller y Gamblin [73], partiendo de consideraciones un poco distintas a las referentes puramente a razones de simetría, han obtenido resultados más bien inesperados: Gamblin [73] requiriendo la existencia de un principio de acción (densidad Lagrangiana) satisfactorio, obtiene, de las ecuaciones del campo, el resultado de que monopolos de signos iguales se deben atraer, existiendo repulsión entre los signos opuestos; este resultado esta en oposición completa al mencionado anteriormente.

Lo anterior, da una idea de tipo de dificultades que se tienen en la construcción de una teoría de partículas hipotéticas: distintos requerimientos implican teorías con resultados en ocasiones opuestos. Sin embargo, se necesita, en cada caso, una base de partida; en el caso de monopolos magnéticos, me parece que la original, consiste en razones de simetría, es la más satisfactoria.

Se debe tener en cuenta, entonces, la base, débil, sobre la cual se hace la generalización de las ecuaciones (1,2) a las (3,4) de la introducción. esto implica especiales dificultades para la detección experimental de monopolos magnéticos; en cualquier arreglo diseñado para este fín, se trata de identificarlos por alguna propiedad particular ( por ejemplo, la fuerza de Lorentz sobre ellos en el campo electrico de un condensador o la corriente eléctrica a que dan lugar según la Ley de Farady); sin embargo, puede ser que una de las fallas fundamentales en los métodos experimentales empleados hasta hoy el hecho de suponer de los monopolos propiedades que realmente no tienen. En este caso, debido a que se debe suponer algo respecto a ellos para poder principiar su estudio, no queda más remedio que probar la mayor cantidad posible de métodos de detección.

Respecto al caso particular de este trabajo, vale la pena remarcar que los resultados obtenidos no dependen de la veracidad de las ecuaciones (3,4) de la Introducción, pues se supuso que la partícula móvil solo tiene masa y carga eléctrica y que el monopolo magnético se encuentra fijo, por lo cual la interacción electromagnética de la partícula móvil con el campo magnético (cuyo origen no importa) está descrita por la fórmula de Lorentz común (ec. (2), Introducción, la cual es, como diría un publicista, de comprobada eficacia. El procedimiento pierde esta base de veracidad fundamental si se supone algún monopolo magnético móvil, pues su ecuación de movimiento involucra entonces la fuerza de Lorentz generalizada (ec. (4), Introducción).

Un dato un poco curioso sobre la aparente escasez (o no existencia) de monopolos magnéticos se relaciona con la teoría de la radiación cósmica de Fermi [78]. De acuerdo con ésta, los rayos cósmicos adquieren sus elevadas energías de campos magnéticos galácticos. De existir monopolos en suficiente abundancia (y estando sujetos a la fuerza de Lorentz generalizada de la ecuación (4) de la Introducción), neutralizarían con el tiempo todos estos campos galácticos (de la misma manera que las partículas eléctricas neutralizan los campos eléctricos que aparecen en diversas zonas de la galaxia), dejando así de producirse los rayos cósmicos. De acuerdo con ésto puede pensarse que, si la teoría de Fermi es correcta, los monopolos magnéticos deben ser escasos no solamente en una vecindad de la tierra, sino en toda nuestra galaxia. también, de acuerdo con lo mencionado en la conclusión (5), un monopolo acelerado en los campos antes mencionados, adquiriría una energía mucho más elevada que las que adquieren las partículas eléctricas (rayos cósmicos) que detectamos. La escasez de monopolos antes referida tendría entonces relación con la no observación de ellos en los rayos cósmicos, los cuales constituyen una fuente posible para ellos.

2. Con respecto al método especial empleado para determinar el grupo de simetría clásico del problema, se puede tener la idea de que es demasiado largo y tedioso, debido a lo cual no se justificaría (aunque la comprobación directa de que las componentes, de $\bar D$ y $\bar R$ (ecs. (123,171), sección I.C) son generadores del grupo de simetría en un ejercicio algebraico también bastante largo). Sin embargo, se tiene en favor de su uso que es un método sistemático en cuanto a que sólo depende de la forma funcional del Hamiltoniano respecto a las variables de acción [28]. En lo concerniente a la consideración que se hizo de $\varepsilon$ su ``variable canónica conjugada" como nuevos grados de libertad (nuevas dimensiones del espacio fase) para, al final, tomar como una restricción su constancia, sin usar multiplicadores de Lagrange en el proceso de solución del problema, es claro que ésto es análogo a tener un problema de máximos y mínimos (las ecuaciones de la Mecánica se obtienen de un principio variacional, el de Hamilton), con restricciones, en el cual se usan estas últimas hasta el final, sin emplear el método de Lagrange. El mérito del procedimiento seguido con-siste en que se evitó el formalismo un poco tedioso (cuado se trabaja con varias dimensiones) de Lagrange y en que se obtiene un poco de libertad (desde el punto de vista psicológico) para tratar como parámetros lo que para la mayoría de las personas son sólo constantes, con lo cual se está un poco mejor preparado con respecto a cambios de puntos de vista en lo que se refiere a la verdadera condición de lo que comúnmente se considera como constantes (ejemplos, el concepto clásico de masa, el método de obtener al límite clásico en Mecánica Cuántica haciendo tender formalmente la constante de Planck a 0; el procedimiento para obtener el límite no relativista haciendo tender formalmente, en las fórmulas relativistas, la velocidad de la luz a infinito, etc).

3. El procedimiento que se sigue usualmente en la obtención de un grupo dinámico consiste (ver referencias en la sección I.D) en definir arbitrariamente funciones de las variables y momenta canónicos y comprobar después que cumplen relaciones de paréntesis de Poisson (clásicamente) y de conmutación (cuánticamente) correspondientes a las de los generadores de un grupo de Lie, el cual es grupo dinámico del problema. En el presente trabajo, se identifica un grupo dinámico para el problema clásico de una manera distinta: del conjunto de eigenfunciones (bajo paréntesis de Poisson) de $\varepsilon$ se construyen productos (ecs. (101 - 108), sección I.C; ecs. (1-8), sección I.D) que resultan ser los generadores de un grupo dinámico; o sea, no tuvieron que definirse funciones con el especial y único fin de construir los generadores del grupo deseado. Me parece este método de trabajo más satisfactorio que el primero citado y, observando que se basa, realmente, en la consideración de $\varepsilon$ como una variable canónica más, se puede conjeturar que sea ésta una manera fructífera de trabajar, aunque la comprobación de ésto tiene que hacerse aplicándola a más problemas y viendo si los resultados obtenidos corroboran la certeza de la suposición.

4. Un resultado, estudiado en este trabajo, que es el que considero el más interesante, es el referente a la cuantización de la cantidad $\varepsilon = \frac{e_2 g}{c}$. Es sencillo verificar que este resultado, junto con la evidencia experimental de que existe una carga eléctrica de magnitud mínima (la carga electrónica), implica la cuantización de la carga eléctrica y de la magnética. La comprobación es la siguiente: supongamos que $\varepsilon = \hbar$ y que $e_2 = e$, siendo $e$ la carga electrónica (estas hipótesis son usados tan solo por concretez; si se usa $\varepsilon = -\hbar$ o la cuantización obtenida al usar $\bar{A}_2$ en la sección II.C, en cuyo caso habría que tomar $\varepsilon = \pm \frac{\hbar}{2}$, los resultados obtenidos son identicos ), entonces g será igual, en magnitud, a la cantidad mínima de carga magnética que se puede tener en la naturaleza; llamamos $g_0$ a este cuanto de carga magnética. Supongamos ahora que colocamos en el campo del monopolo con carga $g_0$ una partícula cargada eléctricamente. Segun lo demostrado en la sección II.C, sólo será posible físicamente este sistema dinámico para $\varepsilon = n \hbar$, con $n$ un entero; pero, para $g_0$ fijo, ésto se cumple si y sólo si la carga eléctrica de la partícula es igual a $ne$. Supongamos ahora que tenemos fija una partícula con carga eléctrica $e$ y que traemos a su campo un monopolo magnético con carga magnética $g$; Dirac [6] trató entre problema y encontro que también en este caso se implica la condición de cuantización de $\varepsilon$. Para el caso físicamente aceptable de tener que $g$ es tal que $\varepsilon = \hbar$, se tendrá que $g = g_0$. Si ahora traemos un monopolo con carga $g$ arbitraria, ya que la carga eléctrica es fija (e), la condición $\varepsilon = n \hbar$ implica que $g = ng_0$.

Respecto a la cuantización de $\varepsilon$, hay un hecho que considero importante, el cual es para mí bastante obscuro. Como se demostró en la sección II.C, al usar dos potenciales vectoriales" $\bar A$ y $\bar{A}_2$ que dan el mismo campo magnético $\bar B$ (o sea, que difieren tan sólo en una norma, de acuerdo con las ecs. (13,20,21) de la Introducción), se obtienen diferentes cuantizaciones para $\varepsilon$. La diferencia entre éstas es fundamental; pues implica que los cuantos de carga magnética $g_0$ serán distintos en los dos casos: en uno de ellos (usando $\bar A$) será doble que en el otro (usando $\bar{A}_2$), pues existe sólo un cuanto de electricidad. El efecto de las transformaciones de norma sobre las eigenfunciones del Hamiltoniano es bien conocido y fácil de obtener [14], resultando ser irrelevante, en cuanto a la localización (en este caso particular) de la partícula móvil, pues añaden una fase en la función de onda $\psi$, la cual desaparece el considerar el producto $\psi^* \psi$, que es el que tiene significado físico. Sin embargo, el efecto, en lo que se refiere al cálculo de valores de expectación de operadores tales que no tienen a las funciones de onda como eigenfunciones (o sea, que no representan constantes del movimiento) no ha sido estudiado en forma adecuada. Además, el efecto exacto de la inclusión de funciones de norma en la definición de los operadores cuánticos tampoco ha sido estudiado, hasta donde yo conozco el tema.

5. Cuando se emprende un trabajo que implica algún tiempo (meses) de ocupación, se debe tener idea, creo, de las causas que lo motivan y de los fines perseguidos. Los comentarios a este respecto, como es lógico, debí incluirlos al principio del presente trabajo, pero, ya que los libros deben leerse en muchas ocasiones del final al principio (invariablemente, el prólogo se escribe al final), no creo faltar demasiado el orden lógico incluyendo aquí los comentarios antes mencionados. Como siempre que se dan argumentos sobre algo, se deben incluir dos puntos de vista: el que se refiere al aspecto puramente personal y el concerniente a la relación con el grupo humano del cual se forma parte. Con respecto al interés personal por realizar el presente trabajo, mencionaré el deseo de conocer, en forma directa, algo sobre el movimiento esperado clásicamente en el campo de una partícula hipotética, además de las características exactas de la cuantización de una de las propiedades fundamentales de dicha partícula (su carga magnética) para que pueda dar lugar a un campo físicamente aceptable, o sea, un campo tal que se obtengan estados del sistema dinámico (monopolo electromagnético + partícula movil) físicamente aceptables. El otro aspecto mencionado, el referente a la relación que pueden tener los resultados obtenidos con algún beneficio del grupo humano del cual formo parte, es de discusión mucho más difícil. Aunque estoy muy lejos de tener un punto de vista 100% utilitario (algunos comentarios provechosos al respecto pueden verse en la referencia (75)), mencionaré algunas razones, altamente especulativas y descriptivas, por cierto, con el propósito de demostrar que la motivación de este trabajo no fué 0% utilitaria. Dichas razones dependen de utilizaciones que considero posibles en México (tomando en cuenta su situación tecnológica actual) de monopolos magnéticos, en caso de que éstos existan:

i) Pueden usarse como proyectiles en procesos de fisión de diversos núcleos. Aunque esta utilización depende vitalmente de la sección eficaz de los monopolos magnéticos en los varios procesos involucrados, sobre la cuál no se tienen datos teóricos, puede esperarse que ésta sea adecuadamente grande. La ventaja esencial que se obtiene al usar monopolos magnéticos en lugar de las partículas comúnmente empleados (protones, neutrones, electrones) estriba en que los monopolos son partículas suficientemente raras (al menos en esta parte del universo), que pueden, por lo tanto, recobrarse después de usadas [9], ya que no se pierden en un ambiente de partículas idénticas. Se les puede recuperar, por ejemplo, rodeando el ambiente del experimento de fisión con un material ferromagnético, en el cual quedan absorbidos los monopolos, sujetos a las fuerzas magnéticas dentro del material, pues producen un agregado de dipolos magnéticos dentro del cual quedan atrapados. Para recuperarlos, se puede calentar la substancia ferromagnética usada y volverlos así a emplear una y otra vez. Además, debido a que el cuanto de carga magnética es aproximadamente 137 veces mayor que el correspondiente eléctrico (ecs. (2,46) sección II.C), de acuerdo con la ec. (4) de la Introducción (fuerza de Lorentz generalizada), las interacciones del cuanto magnético con campos eléctricos y magnéticos son aproximadamente 137 veces más fuertes que las análogas de partículas eléctricas, debido a lo cual los aceleradores de monopolos magnéticos pueden construirse de dimensiones correspondientemente menores, siendo, entonces, más baratos que los gigantes actuales para partículas eléctricas, teniéndose energías comparables de los proyectiles producidos (existe la alternativa, claro, de obtener proyectiles magnéticos con energías fantásticamente elevadas comparadas con las usuales, construyendo aceleradores de dimensiones apropiadas).

ii) Debido a la gran masa que (de existir) tienen los monopolos pues se han hecho experimentos que indican [9] que dicha masa debe ser mayor que el triple de la del protón, se les puede emplear en la construcción de una versión ``magnética" del microscopio iónico [76], con la ventaja de obtener, de acuerdo con la fórmula DeBroglie para la longitud de onda asociada $(\lambda = \frac{\hbar}{p})$, valores del momentum $p$ mayores que los usuales y, por consiguiente, longitudes de onda menores, aumentando así el poder de resolución. El uso inmediato de tal aparato sería en el estudio de la estructura de materiales. En Cristalografía podrían emplearse también monopolos en arreglos de difracción. En cada caso, existe la ventaja adicional de poder recuperar los monopolos empleados. Hay que aclarar que los problemas de enfoque son no-triviales [77].

Podría seguirse especulando de esta manera puramente descriptiva, extendiéndose demasiado la lista; sin embargo, considero las dos aplicaciones posibles mencionadas suficientemente generales.