El origen de los autómatas celulares data de los año 50's con su precursor John von Neumann, donde plantea un modelo matemático que fuera capaz de soportar comportamientos complejos y pudiera reproducirse a sí mismo. Los autómatas celulares han tenido aplicaciones importantes como la modelación de la reacción química de Zhabotinsky, incendios forestales, codificación del DNA, encriptación de datos, computación en paralelo, simulación del proceso electoral, comportamiento colectivo de hormigas, modelación del flujo de automoviles, simulación del modelo depredador-presa, simulación de epidemias, simulación de modelos matemáticos, simulación de máquinas de Turing y modelación del sistema nervioso humano, entre otros.
El modelo original de von Neumann es un autómata celular que evoluciona en dos dimensiones, con veintinueve estados en su alfabeto y evoluciona con la vecindad de von Neumann, en [54] demostró la existencia de un constructor universal con su modelo. Una de las finalidades que planteó von Neumann para la teoría de autómatas celulares, es que dicho sistema pueda simular el sistema nevioso humano; además de poder obtener sistemas que a partir de componentes no confiables puedan producir sistemas confiables [51].
En la teoría de la computación la máquina de Turing [40] es el sistema de computación mas general conocido; los autómatas celulares tienen al menos el mismo poder computacional para poder realizar computación. En [10] se ha demostrado que el autómata celular Life puede hacer computación universal, en el estudio de los autómatas celulares ya se ha logrado simular una máquina de Turing en un autómata celular, pero lo interesante sería ver si una máquina de Turing puede simular un autómata celular.
A finales de los años 60's Martin Gardner publica en su columna mensual del Scientific American [18] el autómata celular en dos dimensiones conocido como ``The Game of Life'' nombrado así por su precursor John Horton Conway, este autómata tomó mucho interés ya que su sistema es muy sencillo de describir. A partir de entonces se han desarrollado diversos análisis para tratar de explicar de manera formal dichos comportamientos, sin embargo el estudio de los autómatas celulares en dos dimensiones no es fácil de generalizar ni mucho menos de clasificar. A pesar de este problema a mediados de los años 80's Carter Bays presenta resultados importantes [2] sobre sus investigaciones para tratar de encontrar una regla de evolución similar a Life en tres dimensiones, encontrando mas de una regla de evolución que presentan algunos comportamientos que existen en Life.
El problema de analizar reglas de evolución en tres dimensiones crece exponencialmente, pues el número de reglas de evolución es grandísimo. A medidados de los años 90's Mathew Cook presenta la regla 110 [47] un autómata celular en una dimensión que tiene comportamientos similares a los de Life, pero su principal diferencia es que evoluciona en un fondo periódico en su espacio de evoluciones y Life no. Cook muestra algunos de sus resultados obtenidos de como la regla 110 puede llegar a realizar computación universal, aunque el estudio que se realiza sobre esta regla de evolución es sobre su similitud que existe con Life y no demostrar si la regla 110 puede o no puede hacer computación universal.
Las investigaciones mas importantes realizadas para tratar de caracterizar reglas de evolución en autómatas celulares de una dimensión en general, se han llevado a cabo de manera estadística aplicando la teoría de estructura local realizado por Howard Andrew Gutowitz [22], descartando la clasificación de Stephen Wolfram [57] que no es del todo rigurosa, dado que la clasificación de Wolfram está basada en la observación de las evoluciones a través del tiempo y no bajo alguna teoría que le de sustento a esa clasificación, además mostramos algunos contra ejemplos de dicha clasificación. Otro análisis importante fue clasificar comportamientos colectivos no triviales en autómatas celulares probabilísticos de altas dimensiones aplicando la teoría del campo promedio, lattices acopladas, técnicas de MonteCarlo y diagramas de bifurcaciones, realizado por Hugues Chaté y Paul Manneville en [16].
La teoría del campo promedio se aplica desde un enfoque directo como lo muestra Harold V. McIntosh en [44] y Chaté-Manneville en [16], para determinar el comportamiento de las reglas de evolución similares a Life, a través de su curva de probabilidad que representa la densidad de los estados en el espacio de evoluciones a través del tiempo. Establecemos una caracterización estadística con las reglas similares a Life en autómatas celulares de una y tres dimensiones, tomando como base el análisis que se hace con Life. En el caso de la regla 110 realizamos su estudio estadístico y algunas proyecciones sencillas en dos dimensiones, ya que dicha regla evoluciona sobre un fondo periódico y Life no, de ahí surge la importancia de encontrar autómatas en dos dimensiones con características de la regla 110 y Life, lo que nos dio como resultados hallar reglas de evolución que tienen características estadísticas y fenotípicas similares a Life y la regla 110. Logrando obtener una caracterización probabilística de las reglas en tres dimensiones que son similares a Life y estableciendo una relación fenotípica y probabilística con la regla 110, a pesar de contar con poca literatura que nos permita tener una teoría formal en autómatas celulares de dos y tres dimensiones, que en la actualidad no existe.
Entonces el problema es tratar de caracterizar estas reglas de evolución probabilísticamente hablando, que sean similares a Life y obtener una mejor aproximación con respecto al comportamiento de los estados en el espacio de evoluciones. Aplicamos la teoría del campo promedio para caracterizar las reglas de evolución en autómatas celulares de una, dos y tres dimensiones en general, de esta manera determinamos el comportamiento de las células a través del tiempo obteniendo su curva de probabilidad que muestra la densidad de los estados con respecto al espacio de evoluciones. Este análisis toma como punto de partida los trabajos realizados por Gutowitz en [22], [23], [24], [26] y [27], donde presenta de manera detallada y formal sus investigaciones en el estudio del comportamiento de los autómatas celulares en una dimensión a través de la teoría del campo promedio 1.1 y la teoría de estructura local 1.2, por otra parte se tomaron los estudios de Chaté-Manneville [16] en autómatas celulares probabilísticos de altas dimensiones a través de la teoría del campo promedio y técnicas de Monte Carlo.
Finalmente se describen los programas gráficos desarrollados en esta tesis ACOSXL21, ACOSXSTVN, ACOSXSTM, ACOSXVN y ACOSXM, para las plataformas Mac OS X, Mac OS X Server, OpenStep y Windows, estos programas sirvieron para poder reproducir cada una de las reglas estudiadas, estos programas fueron codificados con el lenguaje orientado a objetos Objetive-C, en la actualidad existe poco software que nos permita hacer estudios adecuados, ya que estos programas tienen varias limitaciones como la falta de interactividad con el usuario, la poca manipulación de parámetros, la plataforma en que son desarrollados y el escaso uso de análisis matricial, estadístico, probabilístico, de gráficas, entre otros. Un buen sistema desarrollado para el estudio de los autómatas celulares en una dimensión y que además cuenta con muchas de las herramientas arriba mencionadas son el sistema NXLCAU 1.3 y LCAU 1.4 desarrollados por McIntosh, estos programas pueden ser adquiridos de manera libre en http://delta.cs.cinvestav.mx/~mcintosh.
En la actualidad existe muy poca literatura que trata de explicar la complejidad del autómata celular ``The Game of Life'', así como la explicación de las estructuras que puede producir dicha regla de evolución, de aquí surge la necesidad de encontrar un análisis que nos lleve a tratar de entender un poco la complejidad de esta regla de evolución. A pesar de ser un modelo muy sencillo sus comportamientos son muy complejos, entonces el problema es que no hay una explicación de porque la regla de evolución Life tiene esos comportamientos y aunque se sabe que una formalización completa esta aún lejos de darse, en esta tesis se dá una aproximación probabilística de como interactuan los estados en el espacio de evoluciones.
En la tesis se presentan varias aportaciones con respecto a la literatura actual.
En el Capítulo 1 se define la notación básica de los autómatas celulares en una, dos y tres dimensiones, así como su estructura elemental. Se muestra la clasificación fenotípica de los autómatas celulares en una dimensión establecida por Wolfram y se describe la teoría del campo promedio, la útilidad que ofrece y su relación con la teoría de los autómatas celulares. En el Capítulo 2 se analiza el autómata celular en dos dimensiones Life describiendo su regla de evolución tal como la definió Conway, además se presenta una variante de Life conocido como HighLife, estas dos reglas se analizan con la teoría del campo promedio y se describen sus diferencias probabilísticas, ilustrando algunas de sus estructuras mas interesantes y su comportamiento de manera general en el espacio de evoluciones para ambas reglas.
En el Capítulo 3 se analizan los autómatas celulares en tres dimensiones propuestos por Bays con la teoría del campo promedio, diferenciando las reglas de evolución que presentan características similares a la regla Life, aprovechamos el estudio realizado por Bays que presenta varias reglas de evolución que pueden producir configuraciones gliders y still life, además ilustramos algunas de estas estructuras con las reglas mas representativas que presentó Bays, pues varios de sus resultados son de tipo fenotípico y varios de sus resultados formales no pueden ser proyectados a autómatas celulares de una y dos dimensiones, pero no dejan de ser importantes y por eso se discuten algunas de sus definiciones.
En el Capítulo 4 se analiza el autómata celular en una dimensión de orden 
regla 110 con la teoría del campo promedio, mostrando la relación a nivel fenotípico que existe entre Life y la regla 110 establecida por Cook. Ilustramos algunos de los gliders dados a conocer por Cook así como el fondo periódico en el que la regla evoluciona conocido como ether y que no tiene Life, además se describe el uso de los diagramas de de Bruijn extendidos para poder reproducir algunos gliders y el ether, finalmente establecemos sus características probabilísticas con Life y algunos de sus comportamientos complejos que lo relacionan con Life.
En el capítulo 5 se describen los resultados obtenidos así como las limitaciones que tiene este análisis, también se muestran los resultados experimentales obtenidos a nivel de simulación que son interesantes y los trabajos futuros que nos permitan tener un estudio mas formal de estos resultados. Finalmente en el apéndice A se describen las características a nivel usuario de los programas de entorno gráfico desarrollados para esta tesis, los requerimientos necesarios en cuanto a software y hardware, además mostramos las diferentes plataformas en que pueden ser usadas estas aplicaciones. También describimos las características a nivel desarrollador de la implementación en objetos con el lenguaje Objective-C y su transportabilidad en 4 plataformas haciendo notar la potencialidad de esta tecnología 1.5, al final se explica la construcción del programa ACOSXM.