Función de transiciones globales

Como se mencionó en la sección 3.2.1., un autómata celular uni-dimensional consta de un arreglo lineal finito de células, es decir, existe una correspondencia biunívoca entre el conjunto $A$ de células que forman el arreglo y una sección $S_n$ de los números naturales, donde llamaremos una sección del conjunto $N$ de los números naturales denotada por $S_n$ al conjunto de los primeros $n$ números naturales, esto es: $S_n = \{ 1, 2, 3,...,n \} \subset N$. Por lo tanto, decimos que $n$ es la cardinalidad del conjunto $A$, es decir, $\char93 (A) = n$ y de esta manera sabemos con certeza que el conjunto $A$ de células que forman el arreglo es un conjunto finito. Este arreglo de células en un determinado estado constituye una configuración global que conforma una generación $x$ en una tiempo $t$ dentro de la evolución del autómata. De esta forma se asume que todas las configuraciones globales posibles que se pueden formar durante la evolución del autómata celular lineal son finitas puesto que la longitud de éstas tiene que ajustarse al tamaño del arreglo. Las configuraciones globales que constituyen las generaciones que surgen durante la evolución del autómata se forman a partir de las transiciones locales, tal como se observa en la figura 3.12.

Dada la configuración global inicial que se muestra en la figura 3.12, después de transcurridas $4$ generaciones todas las células del autómata convergen al estado $0$. Es importante mencionar que la longitud del arreglo que constituye el autómata es de solamente diez células. La razón por la cual se toma un arreglo tan pequeño es el tratar de agilizar la comprensión de los conceptos que se manejan en esta tesis. Es por eso que a lo largo de la misma se utlizan arreglos de longitud pequeña cuando se pretende explicar diversos aspectos que tienen que ver con la teoría de autómata celular.

Figura 3.12: Transiciones globales de un autómata celular lineal (2,1) aplicando la regla 54.

El paso de una configuración global a otra, es decir, la evolución del autómata de una generación a otra define la función de transiciones globales $f: CG_t \mapsto CG_{t+1}$, donde el conjunto $CG_t$ representa el estado global del autómata en el tiempo $t$, y el conjunto $CG_{t+1}$ representa el estado global del autómata en el tiempo $t+1$, es decir, en la siguiente generación. En la figura 3.13 se ilustra la función de transiciones globales tomando las configuraciones de la figura 3.12, aunque en ésta se expresan en notación decimal. Los elementos del conjunto $A$ representan el dominio de la función, esto es, los estados globales que se generan a partir de la configuración inicial cuyo número decimal es 561 aplicando la regla 54 en un determinado tiempo $t$, y los elementos del conjunto $B$ representan la imagen de la función, esto es, los estados globales del autómata que se generan a partir de un determinado tiempo $t+1$. Tanto el dominio $D$ como la imagen $I$ son subconjuntos de $A$ y $B$ respectivamente es decir, $D \subset A$ e $I \subset B$. Los conjuntos $A$ y $B$ contienen tantos elementos como configuraciones distintas puedan existir. En la figura 3.13 sólamente se incluyen los elementos que definen la función para este caso en particular.

Figura 3.13: Función de transiciones globales aplicando la regla 54.