Función de transiciones locales

De esta forma surge la notación Wolfram $(k,r)$ para un autómata celular lineal, donde $k$ representa el número de estados por cada célula y $r$ el radio de vecindad.

Lo que falta por definir es el estado al cual va a evolucionar cada célula del arreglo en el tiempo $t+1$ a partir de los estados de los vecinos y del suyo propio en el tiempo $t$. Esto va a constituir la función de transiciones locales, o dicho de manera más general, la regla de evolución del autómata.

Por cuestiones prácticas, comúnmente una regla de evolución se expresa en términos de su valor decimal, por ejemplo, regla $54$ para un autómata celular lineal (2,1). Al definir una regla de evolución lo que se hace es especificar los estados a los que evolucionan las células que conforman el arreglo en base a todas las vecindades posibles (ver tabla 3.1), las cuales estan dadas por $k^{2r + 1}$.

En la primer columna de la tabla 3.1 se observan todas las vecindades posibles para un autómata celular lineal (2,1). Estas vecindades están expresadas en notación binaria; al hacer la conversión a notación decimal obtenemos los números del cero al siete. Igualmente, en la segunda columna los estados a los que evolucionan las células están expresados en notación binaria, esta columna define la regla de evolución y para obtener su valor en notación decimal lo que se hace primero es tomar en cuenta únicamente las vecindades en las cuales sus respectivas células centrales evolucionan al estado 1, posteriormente se suman los valores decimales obtenidos de elevar el número 2 a la potencia que corresponde con el número decimal que representa a la vecindad que ocasiona una evolución al estado 1. En el caso de la regla 54 la suma sería: $2^1 + 2^2 + 2^4 + 2^5 = 2 + 4 + 16 + 32 = 54$. Como se puede observar, a partir del contenido de la tabla 3.1 se puede definir la función de transiciones locales $f: A \mapsto B$ la cual se observa en la figura 3.9. Los elementos del conjunto A representan las vecindades expresadas en notación decimal y los elementos del conjunto B representan los estados de evolución de las vecindades expresados en notación binaria.

Tabla 3.1: Regla 54 expresada en notación binaria.

Vecindad	Estado al que evoluciona la célula central
000	0
001	1
010	1
011	0
100	1
101	1
110	0
111	0

Figura 3.9: Función de transiciones locales de la regla 54.

Como se mencionó anteriormente, para fines de visualización es útil utilizar colores para representar los estados del autómata. De esta manera es posible obtener una visión general acerca del comportamiento del autómata a través del tiempo. En la figura 3.10 se observa una representación equivalente a la de la tabla 3.1 pero utilizando colores. Cabe mencionar que para hacer este tipo de representaciones se hizo uso del software NXLCAU^3.2 desarrollado en el Departamento de Aplicación de Microcomputadoras del Instituto de Ciencias de la Universidad Autónoma de Puebla en el lenguaje de programación C objetivo en el sistema operativo NeXTSTEP.

En la figura 3.11 se ilustra el comportamiento a nivel macroscópico de un autómata celular lineal (2,1) aplicando la regla 54 por medio del diagrama de evoluciones.

Figura 3.10: Representación de la regla 54 utilizando colores.

Figura 3.11: Diagrama de evoluciones de un autómata celular lineal (2,1) aplicando la regla 54.