Autómatas celulares en dos y tres dimensiones

Los autómatas celulares están constituidos por un conjunto de estados $K$, una función de transición local $\varphi$, un número de vecinos $\mathcal V$ y una configuración inicial $c_{0}$. Sea $\mathbb{Z}$ el conjunto de los enteros y $\mathbb{Z}^{+}$ es el conjunto de los enteros positivos, entonces el espacio de evoluciones en dos dimensiones está definido por el producto $\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}$ formando una malla infinita. Cada uno de los elementos de la malla es una célula y estas células toman un elemento del conjunto de estados $K$, donde $K \subseteq \mathbb{Z}^{+}$.

Figura 1: Vecindad de Moore

La función de transición local $\varphi$ está formada por una célula central y ocho células que se encuentran alrededor de ésta, es decir, sus vecinos. Los vecinos y la célula central forman una vecindad, la vecindad genera una transformación local que determina el valor de la célula central en la siguiente generación. La función de transición local utiliza la vecindad de Moore que se ilustra en la Figura 1, para evaluar cada una de las vecindades.

Una configuración es un asignamiento de estados del conjunto $K$ a cada una de las células en el espacio de evoluciones.

Sea $K=\{0,1\}$ el conjunto de estados, $\mathcal V=8$ el número de vecinos en la vecindad y $\mathbf{x}_{0}=x_{i,j}$ la célula central en estudio, las células $\mathbf{x}_{1},\ldots,\mathbf{x}_{\mathcal V}=x_{i-1 j-1},\ldots,x_{i+1 j+1}$ son los vecinos, para toda $\mathbf{x}_{i} \in K$.

Una célula $x_{i,j}$ es conectada a una célula $\{ (x_{i + k_{1}}, x_{j + k_{2}}) : Max \{ \vert k_{1}\vert , \vert k_{2}\vert \} \leq 1 \}$ $\forall$ $i,j, k \in \mathbb{Z}$, es decir, la vecindad de Moore [Dup85].

En la Ecuación 1 la función $\varphi$ define la transformación local, las variables $N_{min}$ y $S_{min}$ indican el número mínimo de células ocupadas por el estado 1 en $\mathcal V$ y las variables $N_{max}$ y $S_{max}$ el número máximo de células ocupadas por el estado 1 en $\mathcal V$. Si $\mathbf{x}_{0}=0$ en el tiempo $t$, entonces $\mathbf{x}_{0}=1$ en el tiempo $t+1$ si se encuentra entre el intervalo de $N_{min}$ y $N_{max}$. Si $\mathbf{x}_{0}=1$ en el tiempo $t$, entonces $\mathbf{x}_{0}=1$ en el tiempo $t+1$ si se encuentra entre el intervalo de $S_{min}$ y $S_{max}$, en cualquier otro caso $\mathbf{x}_{0}=0$. Finalmente una regla semitotalística en dos dimensiones se representa como $R(S_{min},S_{max},N_{min},N_{max})$¹, donde $N$ y $S$ deben tomar valores entre 1 y 8.

$$\varphi({\mathbf{x}_{0}},{\mathbf{x}_{1}},\ldots,{\mathbf{x}_{\ma... ...q S_{max} \end{array} \right. \\ \\ 0 & \mbox{en otro caso} \end{array} \right.$$ (1)

Los autómatas celulares en tres dimensiones son más complicados para estudiarlos, porque el número de células que existen en la vecindad de Moore en el espacio tridimensional es de 27 células como se ilustra en la Figura 2, por lo tanto el número de vecindades en la regla de evolución es de $2^{27}$.

Figura 2: Vecindad de Moore en tres dimensiones

En la literatura de los autómatas celulares en tres dimensiones se tienen análisis de tipo estadístico y probabilístico, algunos trabajos importantes en este tipo de análisis se pueden ver en [Bays88a], [Ger90] y [Hem85].

Para representar los autómatas celulares en tres dimensiones se utiliza la misma notación que se empleó para describir los autómatas en dos dimensiones, únicamente se agrega el eje $z$. La Ecuación 1 también puede representar las reglas de evolución semitotalísticas en tres dimensiones, tomando en cuenta que $N$ y $S$ deben tomar valores entre 1 y 26.