Normalidad y localización

Sea $R$ un dominio entero con campo de fracciones $\mathbb{K}$ . $R$ es normal o cerrado por enteros si todo elemento entero en $\mathbb{K}$ , es decir, raíz de un polinomio mónico en $R[X]$ , es un elemento de $R$ . Una variedad afín irreducible $A$ es normal si su anillo de coordenadas $\mathbb{K}[A]$ lo es.

Si acaso $A$ no fuese normal, su normalización $A'$ es una variedad que se construye como sigue: sea $\mathbb{K}[A]' = \{f\in\mathbb{K}(A)\vert f$ es entero en $\mathbb{K}[A]\}$ la cerradura por enteros de $\mathbb{K}[A]$ y sea $A'=$Spec$(\mathbb{K}[A]')$ . Entonces la inclusión $\mathbb{K}[A]\subset \mathbb{K}[A]' = \mathbb{K}[A']$ corresponde a una inclusión $A' \subset A$ , la que se dice ser la función de normalización.

Sea $A$ una variedad irreducible y ${\bf x}\in\mathbb{K}^n$ . El anillo local de $A$ en ${\bf x}$ es ${\cal O}_{A,{\bf x}} = \{\frac{f}{g}\in\mathbb{K}(A)\vert g({\bf x})\not=0\}$ . En él, el conjunto ${\cal M}_{A,{\bf x}} = \{f\in{\cal O}_{A,{\bf x}}\vert f({\bf x})=0\}$ es un ideal maximal, y de hecho es el único maximal ahí, por lo que el anillo local es, en efecto, un anillo local.

El espacio tangente de Zariski de $A$ en ${\bf x}$ es $T_{{\bf x}}(A) =$   Hom$_{\mathbb{K}}({\cal M}_{A,{\bf x}}/{\cal M}^2_{A,{\bf x}},\mathbb{K})$ , o sea el dual del cociente ${\cal M}_{A,{\bf x}}/{\cal M}^2_{A,{\bf x}}$ .

Lema 2.2   Sea $A\subset\mathbb{K}^n$ una variedad afín y ${\bf x}\in A$ . Supóngase que ${\cal I}(A)=\left\langle \left(P_i({\bf X})\right)_{i=0}^{m-1}\right\rangle$ está generado por $m$ polinomios en $\mathbb{K}[{\bf X}]$ . Para cada $i\in[\![0,m-1]\!]$ sea $d_{{\bf x}}(P_i) = \sum_{j=0}^{n-1}\partial_{X_j}P_i({\bf x})X_j$ . Entonces el espacio tangente $T_{{\bf x}}(A)$ es isomorfo al subespacio de $\mathbb{K}^n$ determinado por las ecuaciones $d_{{\bf x}}(P_i) = 0$ , $i\in[\![0,m-1]\!]$ . Se tendrá, en consecuencia, $\dim T_{{\bf x}}(A) \leq n$ .

El punto ${\bf x}$ en $A$ se dice ser suave o no-singular si $\dim T_{{\bf x}}(A)$ coincide con el máximo de las dimensiones de las componentes irreducibles de $A$ que contienen a ${\bf x}$ . Si no es suave, el punto ${\bf x}$ es singular. La variedad $A$ es suave si todo punto suyo lo es.

Proposición 2.7   Toda variedad $A$ afín irreducible es normal.