Topología de Zariski

Sea $\mathbb{K}$ un campo. Sea $n\in\mathbb{N}$ y ${\bf X}=\left(X_i\right)_{i=0}^{n-1}$ una colección de $n$ indeterminadas. Sea $\mathbb{K}[{\bf X}]$ el anillo de polinomios de $n$ variables. Sea ev$_n:\mathbb{K}[{\bf X}]\times\mathbb{K}^n\to\mathbb{K}$ la función de evaluación, $(P({\bf X}),{\bf x})\mapsto P({\bf x})$ . Para cada polinomio $P({\bf X})\in\mathbb{K}[{\bf X}]$ su conjunto de ceros es $Z(P({\bf X})) = \{{\bf x}\in\mathbb{K}^n\vert P({\bf x})=0\}$ , y para un conjunto de polinomios ${\cal P}\subset\mathbb{K}[{\bf X}]$ se define $Z({\cal P}) = \bigcap\{Z(P({\bf X}))\vert P({\bf X})\in{\cal P}\}$ . Naturalmente, si ${\cal I}({\cal P}) = ({\cal P})$ es el ideal generado por ${\cal P}$ , entonces $Z({\cal I}({\cal P})) = Z({\cal P})$ . Ya que $\mathbb{K}[{\bf X}]$ es noetheriano, todo ideal es generado finitamente, por tanto existe un conjunto finito de polinomios $\left\{P_j({\bf X})\right\}_{j=0}^{k-1}$ tal que $Z({\cal P}) = \bigcap_{j=0}^{k-1}Z(P_j({\bf X}))$ .

Un conjunto $A\subset\mathbb{K}^n$ es algebraico si existe un conjunto de polinomios ${\cal P}\subset\mathbb{K}[{\bf X}]$ tal que $A=Z({\cal P})$ .

Observación 2.1   La colección de conjuntos algebraicos en $\mathbb{K}^n$ es cerrada bajo las operaciones conjuntistas y contiene a todo el espacio $\mathbb{K}^n$ .

La topología de Zariski de $\mathbb{K}^n$ es la que tiene como conjuntos abiertos a los complementos de conjuntos algebraicos.

Por ejemplo, para $n=1$ , se tiene que todo ideal de $\mathbb{K}[X]$ es principal, por tanto todo conjunto algebraico es el conjunto de raíces de algún polinomio. La topología de Zariski tiene como conjuntos abiertos a los conjuntos cofinitos y al conjunto vacío. El espacio resultante no es de Hausdorff.

Un conjunto $A\subset\mathbb{K}^n$ es irreducible si no se puede expresar como la unión de dos subconjuntos propios, ambos cerrados en $A$ .

Por ejemplo, para $n=1$ , $\mathbb{K}$ es irreducible.

Una variedad afín algebraica, o de manera sencilla variedad afín, es un conjunto cerrado irreducible de $\mathbb{K}^n$ . Un subconjunto abierto de una variedad afín es una casi-variedad afín.

Para un conjunto $A\subset\mathbb{K}^n$ , su ideal es ${\cal I}(A) = \{P({\bf X})\in\mathbb{K}[{\bf X}]\vert \forall {\bf x}\in A: P({\bf x})=0\}.$

Proposición 2.1   Las siguientes aseveraciones son verdaderas:

• ${\cal P}_0,{\cal P}_1\subset\mathbb{K}[{\bf X}] \& {\cal P}_0\subset{\cal P}_1 \Longrightarrow Z({\cal P}_0)\supset Z({\cal P}_1)$ .
• $A_0,A_1\subset \mathbb{K}^n \& A_0\subset A_1 \Longrightarrow {\cal I}(A_0)\supset {\cal I}(A_1)$ .
• $A_0,A_1\subset \mathbb{K}^n \Longrightarrow {\cal I}(A_0\cup A_1) = {\cal I}(A_0)\cap {\cal I}(A_1)$ .
• $I\subset\mathbb{K}[{\bf X}]$    ideal $\Longrightarrow {\cal I}(Z(I)) =$   rad$(I)$ , donde rad$(I) = \{P({\bf X})\in\mathbb{K}[{\bf X}]\vert \exists m\in\mathbb{N}: P({\bf X})^m\in I\}$ es el radical de $I$ .
• $A\subset \mathbb{K}^n \Longrightarrow Z({\cal I}(A)) = \overline{A}$ que es la cerradura de $A$ .

Teorema 2.1 (Nullstellensatz de Hilbert)   Sea $\mathbb{K}$ un campo algebraicamente cerrado e $I<\mathbb{K}[{\bf X}]$ un ideal. Si $P({\bf X})\in\mathbb{K}[{\bf X}]$ se anula en $Z(I)$ entonces $P({\bf X})\in$rad$(I)$ .

Un ideal $I$ es radical si $I=$rad$(I)$ .

Corolario 2.1   Existe una correspondencia biyectiva entre los conjuntos algebraicos en $\mathbb{K}^n$ y los ideales radicales de $\mathbb{K}[{\bf X}]$ .

Se sigue que $\mathbb{K}^n$ es irreducible pues corresponde al ideal nulo, que es primo.

Si $P({\bf X})\in\mathbb{K}[{\bf X}]$ es irreducible, entonces $I={\cal I}(P({\bf X}))$ es un ideal primo y por tanto $Z(I)$ es irreducible. $Z(I)$ se dice ser la curva afín determinada por $P({\bf X})$ , cuyo grado es el grado de $P({\bf X})$ .

Un ideal maximal $I<\mathbb{K}[{\bf X}]$ corresponde a un punto en $\mathbb{K}^n$ . Por tanto los ideales maximales son de la forma $I=\left(X_i-a_i\right)_{i=0}^{n-1}$ , con ${\bf a}=(a_0,\ldots,a_{n-1})\in\mathbb{K}^n$ .

Si $A\subset\mathbb{K}^n$ es un conjunto afín algebraico, su anillo de coordenadas es $\mathbb{K}[A] = \mathbb{K}[{\bf X}]/{\cal I}(A)$ .

Si $A$ es una variedad afín, entonces $\mathbb{K}[A]$ es un dominio entero y es de hecho una $\mathbb{K}$ -álgebra generada finitamente. Recíprocamente, todo dominio entero que es una $\mathbb{K}$ -álgebra generada finitamente es el anillo de coordenadas de una variedad afín.

Observación 2.2   Si $A_0,A_1\subset\mathbb{K}^n$ son dos variedades afines y $\sigma:A_0\to A_1$ es una función polinomial entonces se puede definir la transformación $\sigma^{\star}:\mathbb{K}[A_1]\to\mathbb{K}[A_0]$ , mediante $[Q({\bf X})]\mapsto[P({\bf X})] = [Q\circ\sigma({\bf X})]$ , la cual es de hecho un $\mathbb{K}$ -homomorfismo de álgebras.

Lema 2.1   Se tiene que valen las relaciones siguientes:

• Un punto ${\bf x}\in A$ en una variedad determina un ideal maximal $M_{\bf x} = \{[P({\bf X})]\in\mathbb{K}[A]\vert P({\bf x})=0\}$ , y todos los ideales maximales son de esta forma.
• Dos variedades afines son isomorfas si y sólo si los correspondientes anillos de coordenadas son isomorfos, vistos éstos como $\mathbb{K}$ -álgebras.

Sea Spec$(\mathbb{K}[A])$ la colección de ideales maximales en el anillo de coordenadas $\mathbb{K}[A]$ . Se tiene por el primer punto del lema anterior que $A\approx$Spec$(\mathbb{K}[A])$ .

Cada elemento $[P({\bf X})]\in\mathbb{K}[A]$ del anillo de coordenadas determina una función $P:A\to\mathbb{K}$ , por lo que en lo sucesivo denotaremos a los elementos del anillo de coordenadas como si fuesen meras funciones.

Para una $f\in\mathbb{K}[A]$ sea $A_f = \{{\bf x}\in A\vert f({\bf x}) \not= 0\}$ . Entonces $A_f$ es un abierto en la topología de Zariski. Sea $\mathbb{K}(A)$ el campo de fracciones de $\mathbb{K}[A]$ y sea $\mathbb{K}[A]_f = \{\frac{g}{f^{\ell}}\vert g\in\mathbb{K}(A) \& \ell\in\mathbb{N}\}$ . Se tiene también que $A_f\approx$Spec$(\mathbb{K}[A]_f)$ . Esta construcción es del tipo de localización.

Un espacio topológico $X$ se dice ser noetheriano si se satisface en él la condición de cadenas descendientes: Toda cadena descendiente de conjuntos cerrados se estaciona a partir de un índice.

$\mathbb{K}^n$ es pues noetheriano con la topología de Zariski.

Proposición 2.2   Si el espacio topológico $X$ es noetheriano todo conjunto cerrado no vacío $Y$ puede expresarse como la unión finita de conjuntos cerrados irreducibles $\left(Y_j\right)_{j=0}^{k-1}$ , $Y=\bigcup_{j=0}^{k-1}Y_j$ , que es única bajo la condición de que éstos no se contengan a pares: $[j_0\not= j_1\Rightarrow Y_{j_0}\not\subset Y_{j_1}]$ . En tal caso, los conjuntos $Y_j$ se dicen ser las componentes cerradas irreducibles de $Y$ .

Corolario 2.2   Todo conjunto algebraico de $\mathbb{K}^n$ se expresa de manera única como una unión de variedades que no se contienen a pares.

La dimensión de un espacio topológico es la longitud de cualquier cadena maximal creciente de conjuntos cerrados irreducibles en el espacio. La dimensión de una variedad es su dimensión vista como espacio topológico.

En un anillo, la altura de un ideal primo $I$ es el supremo de las longitudes de cadenas crecientes de ideales primos distintos cuyo último elemento es $I$ . La dimensión de Krull de un anillo es el supremo de las alturas de sus ideales primos.

Proposición 2.3   Si $A$ es un conjunto algebraico afín entonces su dimensión coincide con la dimensión de su anillo de coordenadas $\mathbb{K}[A]$ .

Teorema 2.2   Sea $\mathbb{K}$ un campo, y sea $R$ un dominio entero que es una $\mathbb{K}$ -álgebra generada finitamente. Entonces:

• La dimensión de $R$ es la de $\mathbb{K}[R]$ .
• Para cualquier ideal primo $I<R$ : altura$(I) + \dim(R/I) = \dim R$ .

Se tiene $\dim\mathbb{K}^n=n$ .

Proposición 2.4   Si $A$ es una variedad cuasi-afín, entonces $\dim A = \dim \overline{A}$ .

Teorema 2.3 (Hauptidealsatz de Krull)   Sea $R$ un anillo noetheriano. Entonces todo ideal minimal primo en él que contenga un elemento que ni es cero ni es una unidad tiene altura $1$ .

Proposición 2.5   Un dominio entero noetheriano es un dominio de factorización única si y sólo si todo ideal primo de altura $1$ es principal.

Proposición 2.6   Una variedad $A$ en $\mathbb{K}^n$ tiene dimensión $n-1$ si y sólo si existe un polinomio no-constante irreducible $P({\bf X})\in\mathbb{K}[{\bf X}]$ tal que $A=Z(P({\bf X}))$ .