Haces fibrados (fiber bundles)

Sean $F,E,B$ tres espacios topológicos, $B$ conexo y $\pi:E\to B$ una función suprayectiva contínua tal que se cumple la

Condición local de trivialidad

Para cada punto $e\in E$ existe una vecindad abierta $U_e\subset B$ de $\pi(e)\in B$ para la cual hay una inclusión homeomorfa $\phi_e:\pi^{-1}(U_e)\to U_e\times F$ que hace conmutativo el diagrama siguiente:

$$\xymatrix{ \pi^{-1}(U_e)\subset E \ar[r]^{\phi_e} \ar[dr]_{\pi} & U_e\times F \ar[d]^{\mbox{\rm pr}^1} \ & U_e\subset B }$$ (14)

En tal caso se escribe $F\to E\stackrel{\pi}{\to}B$ y se dice que $(E,\pi,B,F)$ es un haz fibrado (fiber bundle). $B$ es el espacio base, $E$ es el espacio total y $F$ es propiamente la fibra: para todo $b\in B$ , su imagen inversa $\pi^{-1}(\{b\})$ es homeomorfa a $F$ y es la fibra sobre $b$ . La colección $\left((U_e,\phi_e)\right)_{e\in E}$ se dice ser una trivialización local del haz, y cada $(U_e,\phi_e)$ un mapa en $e\in E$ . Se tiene también que se puede inducir la topología cociente determinada por $\pi$ sobre el espacio $B$ . Un haz fibrado suave (smooth fiber bundle) es un haz fibrado $(E,\pi,B,F)$ donde el espacio total $E$ está incluido en la categoría de variedades suaves.

La cinta de Möbius es el haz fibrado que tiene un segmento de recta como fibra, que hace un giro, y a un círculo como espacio base. Si el segmento no gira, el haz fibrado es un cilindro. Localmente, la cinta de Möbius y el cilindro son indistinguibles.

Un círculo de fibra sobre otro círculo como espacio base produce el toro, $S^2 = S^1\times S^1$ . Cuando el círculo de fibra hace un giro, se obtiene la botella de Klein.

De manera general, si $X$ es un espacio topológico, $f:X\to X$ es un homeomorfismo de $X$ en sí mismo e $I=[0,1]$ es el intervalo real unitario entonces en el producto cartesiano $I\times X$ se considera la relación de equivalencia $R_{X,f}$ tal que $(0,f(x))R_{X,f} (1,x)$ , $\forall x\in X$ . El cociente $M_{X,f} = X/R_{X,f}$ es el toro mediante el homeomorfismo $f$ (mapping torus), y es un haz fibrado con $X$ como fibra e $I$ como espacio base.

Un haz vectorial (vector bundle) es un haz fibrado cuya fibra es un espacio vectorial. Por ejemplo, el espacio vectorial tangente a una variedad en cada punto produce un haz vectorial. Al seleccionar una base en la fibra, se obtiene un haz de referenciales (frame bundle)

Una sección de un haz fibrado $F\to E\stackrel{\pi}{\to}B$ es una función $f:B\to E$ tal que $\forall b\in B$ : $\pi(f(b)) = b$ . Puede no haber secciones globales, por lo que se puede considerar secciones locales: $f:U\to E$ tales que $\forall b\in U$ $\pi(f(b)) = b$ , donde $U$ es un abierto de $B$ . Las secciones forman haces (sheaves), a secas. Esto lo veremos con más detalle un poco más adelante.

Sea $G$ un grupo topológico que actúa en el espacio de fibra $F$ , $G$ puede ser, por ejemplo, un grupo de homeomorfismos de $F$ en sí mismo. Sea $\left((U_e,\phi_e)\right)_{e\in E}$ una trivialización local del haz fibrado $F\to E\stackrel{\pi}{\to}B$ . Sean $e_0,e_1\in E$ dos puntos tales que $U_{e_0}\cap U_{e_1}\not=\emptyset$ . Una función $t_{e_0e_1}:U_{e_0}\cap U_{e_1}\to G$ tal que

$$\forall (b,f)\in (U_{e_0}\cap U_{e_1})\times F: \phi_{e_1}\circ \phi_{e_0}^{-1}(b,f) = (b,t_{e_0e_1}(f))$$

se dice ser una función de transición. Un $G$ -atlas es una trivialización local $\left((U_e,\phi_e)\right)_{e\in E}$ tal que siempre que $U_{e_0}\cap U_{e_1}\not=\emptyset$ hay una función de transición $t_{e_0e_1}:U_{e_0}\cap U_{e_1}\to G$ . Dos $G$ -atlas son equivalentes si su unión es un $G$ -atlas. Un $G$ -haz es un haz fibrado junto con la clase de equivalencia de un $G$ -atlas. En tal caso, $G$ se dice ser el grupo de calibración (gauge group). Las funciones de transición satisfacen las condiciones siguientes:

• $t_{ee}=1$
• $t_{e_0e_1} = t_{e_1e_0}^{-1}$
• $t_{e_0e_2} = t_{e_0e_1}t_{e_1e_2}$

Sean $F_0\to E_0\stackrel{\pi_0}{\to}B_0$ y $F_1\to E_1\stackrel{\pi_1}{\to}B_1$ dos haces fibrados. Un morfismo de haces es una pareja $(\phi,f)$ tal que $\phi:E_0\to E_1$ y $f:B_0\to B_1$ cumplen $\pi_1\circ \phi = f\circ \pi_0$ , es decir el siguiente diagrama conmuta:

$$\xymatrix{ E_0 \ar[r]^{\phi} \ar[d]_{\pi_0} & E_1 \ar[d]^{\pi_1} \ B_0 \ar[r]^{f} & B_1 }$$ (15)

Si $B_0=B_1$ entonces se exige que $f=$id$_{B_0}$ en todo morfismo de haces.

Sea $V$ un espacio vectorial sobre un campo $\mathbb{K}$ , y sea $V\to E\stackrel{\pi}{\to}B$ un haz vectorial. Para cada $b\in B$ , $\pi^{-1}(\{b\})\approx\{b\}\times V = V_b\subset E$ es una copia de $V$ y tiene una estructura natural de espacio vectorial. Sea $U\subset B$ un abierto. Una sección $s:U\to E$ ha de satisfacer $\pi\circ s =$   id$_{U}$ . Sea ${\cal F}(U)$ la colección de secciones definidas sobre $U$ . La transformación ``cero'', $b\mapsto$ (vector cero de $\pi^{-1}(\{b\})$ ) es una sección, y, de hecho, ${\cal F}(U)$ adopta una estructura de espacio vectorial con las operaciones definidas por componentes.

Supongamos que $V\to E\stackrel{\pi}{\to}B$ y $U\to F\stackrel{\rho}{\to}B$ son dos haces vectoriales. Se define las operaciones siguientes:

Suma directa

$E\oplus F$ es el haz cuya fibra sobre cada $b\in B$ es $E_b\oplus F_b$ .

Producto tensorial

$E\otimes F$ es el haz cuya fibra sobre cada $b\in B$ es $E_b\otimes F_b$ .

Haz ``Hom''

Hom$(E, F)$ es el haz cuya fibra sobre cada $b\in B$ es Hom$(E_b, F_b)$ , el espacio de transformaciones lineales $E_b\to F_b$ .

Haz vectorial dual

$E^{\star} =$   Hom$(E,\mathbb{R}\times B)$ . Se tiene que hay un isomorfismo natural:

Hom$$(E, F) = E^{\star}\otimes F.$$