Gavillas (sheaves)

Sea $B$ un espacio topológico y sea ${\cal C}$ una categoría (con sus propios objetos y clases de morfismos entre ellos).

Una pregavilla (presheaf) evaluada en ${\cal C}$ , es una correspondencia ${\cal F}$ que a cada abierto $U\subset B$ le asocia un objeto ${\cal F}(U)$ en la categoría ${\cal C}$ de manera que para cualesquiera dos abiertos $U$ , $V$ , si $U\subset V$ entonces existe un morfismo res$_{UV}:{\cal F}(V)\to{\cal F}(U)$ en la categoría ${\cal C}$ , por lo que se dice ser un morfismo de restricción. Se deben cumplir también las siguientes dos condiciones:

• $U$ abierto en $B \Longrightarrow$   res$_{UU} =$   id$_{U}$ .
• $U,V,W$ abiertos en $B , U\subset V\subset W \Longrightarrow$   res$_{UW} =$   res$_{UV}\circ$   res$_{VW}$ .

Sea ${\cal O}(B)$ la categoría de conjuntos abiertos en $B$ con los morfismos dados por las inclusiones. Entonces una pregavilla evaluada en ${\cal C}$ es exactamente un funtor contravariante ${\cal O}(B)\to{\cal C}$ .

Si ${\cal C}$ es una categoría concreta y ${\cal F}$ es una pregavilla evaluada en ${\cal C}$ entonces para cada abierto $U\subset B$ , a los elementos de ${\cal F}(U)$ se les llama secciones de ${\cal F}$ sobre $U$ . Una sección correspondiente a todo el espacio $B$ se dice ser global.

Supongamos por un momento que ${\cal C}$ es la categoría de conjuntos con los morfismos de inclusiones. Una gavilla (sheaf) es una pregavilla ${\cal F}$ evaluada en ${\cal C}$ tal que se cumplen las condiciones siguientes:

Identidad local

Si $\left(U_i\right)_i$ es un recubrimiento abierto de un abierto $U$ en $B$ entonces:

$$\forall s,t\in{\cal F}(U): \left[\forall i \left[\mbox{\rm res}_{U_iU}(s) = \mbox{\rm res}_{U_iU}(t)\right] \Longrightarrow s=t\right].$$

Pegado

Sea $\left(U_i\right)_i$ un recubrimiento abierto de un abierto $U$ en $B$ y sea $\left(s_i\right)_i$ una sucesión de secciones tal que $\forall i$ , $s_i\in{\cal F}(U_i)$ . Entonces las siguientes dos condiciones son equivalentes:

1. $\forall i,j:$   res$_{(U_i\cap U_j);U}(s_i) =$   res$_{(U_i\cap U_j);U}(s_j)$ .
2. $\exists s\in{\cal F}(U): s_i =$   res$_{U_iU}(s)$ .

Las sucesiones $\left(s_i\right)_i$ que cumplen la condición 1. se dicen ser compatibles a pares. La sección $s$ que cumple la condición 2. se dice ser el pegado o la concatenación de las secciones $\left(s_i\right)_i$ .

Así, en una gavilla toda sucesión de secciones compatibles a pares posee un único pegado.

Para un punto $b\in B$ el tallo (stalk) ${\cal F}_b$ de la gavilla ${\cal F}$ es ${\cal F}_b = \mathop{\varinjlim}\limits _{b\in U} {\cal F}(U)$ .

Sea $B$ un espacio topológico y sea ${\cal O}_B$ una gavilla de anillos. La pareja $(B,{\cal O}_B)$ se dice ser un espacio anillado. Una gavilla de módulos es una gavilla ${\cal M}$ tal que para cada abierto $U\subset B$ , ${\cal M}(U)$ es un ${\cal O}_B(U)$ -módulo. Una gavilla localmente libre es una gavilla ${\cal F}$ de módulos sobre un espacio anillado $B$ si para cada punto $b\in B$ existe un abierto $U_b\subset B$ tal que ${\cal F}(U_b)$ es un ${\cal O}_B(U_b)$ -módulo libre, cuya dimensión es el rango de ${\cal F}(U_b)$ . En tal caso, el tallo ${\cal F}_b$ es también un ${\cal O}_B$ -módulo libre.

Un haz de líneas (line bundle) es una gavilla ${\cal L}$ localmente libre de rango 1. La colección de secciones globales se denota $\Gamma(B,{\cal L})$ .

Si ${\cal O}_B$ es una gavilla de anillos y ${\cal F}$ y ${\cal G}$ son gavillas de módulos tales que para todo abierto $U\subset B$ , ${\cal F}(U)$ y ${\cal G}(U)$ son ${\cal O}_B(U)$ -módulos, el producto ${\cal F}\otimes_{{\cal O}_B}{\cal G}$ es la gavilla $U\mapsto{\cal F}(U)\otimes_{{\cal O}_B(U)}{\cal G}(U)$ , con este último definido como en la sección 1.2.2 y caracterizado también en la 2.1.3.