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Sintaxis

Recordamos que un cálculo de proposiciones (CProp) se construye a partir de un conjunto finito de variables proposicionales $P=\{p_1,\ldots,p_n\}$, de los valores constantes 0,1 a los que se identifica como falso y verdadero, respectivamente, y de algunos conectivos, entre los cuáles están $\neg,\lor,\land,\rightarrow,\leftrightarrow$ llamados negación, disyunción, conjunción, implicación y equivalencia, respectivamente. Las formas proposicionales son las así llamadas fórmulas bien formadas. Para precisar el concepto de fórmula bien formada asignemos primeramente prioridades a los conectivos:

$\neg$	tiene prioridad	1
$\lor,\land$	tienen prioridad	2
$\rightarrow,\leftrightarrow$	tienen prioridad	2

En el manejo de prioridades, la convención es usual: ``Menores valores numéricos corresponden a prioridades mayores y, con prioridades iguales, se aplican primero los conectivos más a la izquierda''. El conjunto FP de formas proposicionales se define inductivamente, y al mismo tiempo se define la noción de conectivo principal de FP's. En el recuadro (10) presentamos estas definiciones precisas.

  

Table 10: Definición de formas proposicionales.

Por ejemplo, consideremos el acertijo siguiente:

Ha ocurrido un cuantioso robo en una tienda. Los asaltantes transportaron su botín en una camioneta. Posteriormente se atrapa a tres maleantes sospechosos A, B y C. Las pesquisas muestran evidencias de que A siempre se acompaña de B o de C para sus fechorías, C por su lado nunca actuaría solo, pero también A no se acompañaría de C en un atraco. El atraco sólo pudo haber sido cometido por A, B o C y al menos uno de ellos es culpable.

Hay que decidir las culpabilidades de ellos.

Consideremos tres variables proposicionales para codificar correspondientes hipótesis:

$$\begin{eqnarray*}p_A &:& \mbox{\it$A$\space es culpable,} \\ p_B &:& \mbox{\it$B$\space es culpable,} \\ p_C &:& \mbox{\it$C$\space es culpable.} % \end{eqnarray*}$$

Los ``hechos'' siguientes pueden representarse por correspondientes formas proposicionales:

1.

Si A fuese culpable y B inocente, entonces C ha de ser culpable: $p_A\land \neg p_b \rightarrow p_C$.

2.

C nunca actuaría solo: $p_C \rightarrow p_A\lor p_B$.

3.

A nunca actuaría con C: $\neg (p_A\land p_C)$.

4.

Nadie más que A, B o C pudieron haber actuado y al menos uno de ellos es culpable: $p_A\lor p_B\lor p_C$.

De acuerdo con el acertijo, si los cuatro hechos anteriores fuesen verdaderos, ¿qué podría decirse acerca de las culpabilidades de A, B y C? Y si acaso se tuviese una evidencia de que cada uno de esos hechos es verdadero con una cierta probabilidad, ¿qué podría decirse acerca de las probabilidades de que A, B y C sean culpables?

El acertijo se formaliza naturalmente en un cálculo proposicional con tres variables. En lo que sigue, trataremos el acertijo con las respectivas propagaciones de valores que introduzcamos.

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