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Negaciones

Veamos cómo extender a la operación de ``complemento''. En los conjuntos usuales, un punto está en el complemento de un conjunto si y sólo si no está en el conjunto. Si vemos al conjunto como su propia función característica, tenemos que la operación complemento ``voltea'' los valores de pertenencia: A los puntos donde se tuviese un valor de pertenencia 1 el complemento les asignará el valor 0 y viceversa.

Un operador de negación es pues una función N que a cada valor t en el intervalo [0,1] le asocia un valor N(t) en el mismo intervalo [0,1], de manera tal que N(0)=1, N(1)=0 y que además es una función no-creciente, es decir, si $t\leq s$ entonces $N(t)\geq N(s)$.

Ejemplos. Las siguientes son negaciones:

Lineal.

La función $N_1: x\mapsto 1-x$ es una negación. Su gráfica se ve en la figura 8.

  

Figure: Típica función de negación $N_1: x\mapsto 1-x$.

Negación de la verdad.

Sea $N_0:[0,1]\rightarrow[0,1]$ la función $N_0: x\mapsto \left\{\begin{array}{ll} 1 &\mbox{ si $x<1$ , } \\ 0 &\mbox{ si $x=1$ . } \end{array}\right.$. Su gráfica se ve en la figura 9 (a).

Negación de la falsedad.

Sea $N_{\infty}:[0,1]\rightarrow[0,1]$ la función $N_{\infty}: x\mapsto \left\{\begin{array}{ll} 1 &\mbox{ si $x=0$ , } \\ 0 &\mbox{ si $x>0$ . } \end{array}\right.$. Su gráfica se ve en la figura 9 (b).

  

Figure 9: (a) Negación de la verdad. (b) Negación de la falsedad.

Si A es un conjunto difuso y N es una negación, entonces la composición $\neg_N A=N\circ A$ es el complemento de A bajo el operador N.

Observación 2.1   Si C es un conjunto usual y N es una negación cualquiera, el complemento de C bajo N coincide con el complemento de C en el sentido usual.

Por ejemplo para el conjunto de contribuyentes mayores definido por la ecuación (1) se tiene

$$\begin{eqnarray*}\neg_{N_1}\mbox{\it \lq\lq contribuyentes mayores''}(x) &=& \left\{\... ...} \\ 1 & \mbox{en cualquier otro caso,} \end{array}\right. \\ \end{eqnarray*}$$

donde i(x) es el impuesto anual pagado por x en unidades monetarias. Cada una de estas negaciones introduce un criterio propio para decidir cuándo un contribuyente NO es mayor.

Las extensiones de la negación no necesariamente poseen todas las propiedades de la negación usual.

Observación 2.2   El principio de la ``doble negación'' sólo vale para el índice p=1. Es decir:

1.

Para todo $x\in[0,1]$: N₁(N₁(x))=x. Así pues, para cualquier conjunto difuso A: $\neg_{N_1} \neg_{N_1} A=A$.

2.

Para $p=\infty$, para todo $x\in[0,1]$: $N_{\infty}(N_{\infty}(x))= \left\{\begin{array}{ll} 0 &\mbox{ si $x=0$ , } \\ 1 &\mbox{ si $x>0$ . } \end{array}\right.$

Para todo conjunto difuso A, $\neg_{N_{\infty}} \neg_{N_{\infty}} A:x\mapsto \left\{\begin{array}{ll} 0 &\mbox{ si $A(x)=0$ , } \\ 1 &\mbox{ si $A(x)>0$ . } \end{array}\right.$

3.

Para p=0, para todo $x\in[0,1]$: $N_0(N_0(x))= \left\{\begin{array}{ll} 0 &\mbox{ si $x<1$ , } \\ 1 &\mbox{ si $x=1$ . } \end{array}\right.$

Para todo conjunto difuso A, $\neg_{N_0} \neg_{N_0} A:x\mapsto \left\{\begin{array}{ll} 0 &\mbox{ si $A(x)<1$ , } \\ 1 &\mbox{ si $A(x)=1$ . } \end{array}\right.$

Puesto que con la definición que hemos introducido para las negaciones, algunas dejan de cumplir el principio de la doble negación, reforzaremos la noción de negación. Una negación-d es una función M, del intervalo [0,1] en sí mismo, no-creciente tal que M(0)=1 y para cada x: M(M(x))=x. Es decir, una negación-d satisface el principio de la doble negación por su propia definición.

Ejemplos. Las siguientes son negaciones-d:

p=1.

La negación N₁ definida anteriormente.

Generadas.

Sea $f:[0,1]\rightarrow[0,1]$ una función contínua y (estrictamente) creciente, tal que f(0)=0. Sea $M_f:x\mapsto M_f(x)=f^{-1}(f(1)-f(x))$. Tenemos que M es contínua, no-decreciente,

$$\begin{eqnarray*}M_f(0) &=& f^{-1}(f(1)-f(0))=f^{-1}(f(1))=1 \\ M_f(1) &=& f^{-1}(f(1)-f(1))=f^{-1}(0)=0 \end{eqnarray*}$$

y para todo $x\in[0,1]$: f(M_f(x))=f(1)-f(x), y por consiguiente

M_f(M_f(x))=f^-1(f(1)-(f(1)-f(x))) =f^-1(f(x)) =x.

M_f es pues una negación-d. La función f se dice ser generadora de la negación-d M_f.

Para cada elección de una función f con las propiedades enlistadas, obtenemos una negación-d en particular.

Por ejemplo, consideremos el conjunto de contribuyentes mayores definido por la ec. (1).

Para la función f tal que $f(t)=\frac{3}{4}\sqrt{t}$, cuya gráfica se muestra en la figura 10 (a),

  

Figure: (a) Función $t\mapsto f(t)=\frac{3}{4}t^{\frac{1}{2}}$. (b) Correspondiente negación M_f.

tenemos que su inversa se expresa como $f^{-1}(s)=\left(\frac{4}{3}s\right)^2$ y consecuentemente $M_f(t)=(\sqrt{t}-1)^2$, cuya gráfica se muestra en la figura 10 (b). Por tanto,

$$\neg_{M_f}\mbox{\it \lq\lq mayores''}(x) = \left\{\begin{array}{ll... ...^6$,} \\ 1 & \mbox{en cualquier otro caso,} \end{array}\right.$$

y su gráfica se muestra en la figura 12 (a). Consideremos ahora la función g ``simétrica'' de la anterior f (el exponente $\frac{1}{2}$ lo cambiamos por el exponente 2): Para g tal que $g(t)=\frac{3}{4}t^2$, cuya gráfica se muestra en la figura 11 (a),

  

Figure: (a) Función $t\mapsto g(t)=\frac{3}{4}t^2$. (b) Correspondiente negación M_g.

tenemos que su inversa se expresa como $g^{-1}(s)=\sqrt{\frac{4}{3}s}$ y consecuentemente $M_g(t)=\sqrt{1-t^2}$, cuya gráfica se muestra en la figura 11 (b). Por tanto,

$$\neg_{M_g}\mbox{\it \lq\lq mayores''}(x) = \left\{\begin{array}{ll... ...6$,} \\ 1 & \mbox{en cualquier otro caso,} \end{array}\right.$$

y su gráfica se muestra en la figura 12 (b).

  

Figure 12: (a) Complemento del conjunto de contribuyentes mayores según la negación M_f. (b) Complemento del conjunto de contribuyentes mayores según la negación M_g.

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