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Longitudes

Sean $G^-,G^0,G^+$ las regiones temporal, lumínica y espacial, respectivamente, definidas por las relaciones (1.3), del espacio-tiempo $\mathbb{R}^4$.

Sea ${\bf x}:\mathbb{R}\to\mathbb{R}^4$ la parametrización de una curva $\Gamma$ de clase $C^1$. Sea ${\bf x}'$ la derivada de ${\bf x}$, es decir, el vector tangente a la curva ${\bf x}$ en cada punto. Se define el elemento de línea:

$$ds:t\mapsto ds(t) = \left\{\begin{array}{cl} \sqrt{-({\bf x}'... ... &\mbox{ si ${\bf x}'(t)\in G^0\cup G^+$. } \end{array}\right.$$

Si la curva ${\bf x}$ está en la region temporal $G^-$, su tiempo propio es $T(t,t_0) = \int_{t_0}^t ds(\tau)\, d\tau\in\mathbb{R}$, y si está en la lumínica o espacial, su longitud es $S(t,t_0) = \int_{t_0}^t ds(\tau)\, d\tau\in\mathbb{R}$.

Supongamos en lo sucesivo que ${\bf x}$ es una curva en la region temporal $G^-$ y que, fijo $t_0\in\mathbb{R}$ la función $t\mapsto T(t,t_0)$ es inyectiva. Sea $\tau:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ su función inversa: $[u=T(t,t_0)\Rightarrow\tau(u)=t]$ y $T(\tau(u),t_0) = u$. Por la Regla de la Cadena:

$$\frac{d \tau}{du}(u) = \left(\frac{dT}{dt}(t)\right)^{-1} = \... ...({\bf x}'(t))^TG{\bf x}'(t)}\right)^{-1},\mbox{ con }t=\tau(u).$$

En consecuencia, también por la Regla de la Cadena:

$$\frac{d({\bf x}\circ \tau)}{du}(u) = {\bf x}'(\tau(u))\frac{... ...) = \frac{1}{\sqrt{-({\bf x}'(t))^TG{\bf x}'(t)}}{\bf x}'(t).$$ (5.1)

El vector ${\bf u}(u) =\frac{d({\bf x}\circ \tau)}{du}(u)$ se dice ser la velocidad tangencial de una partícula que se mueve con posición ${\bf x}(t)$. Por (5.1) resulta

$$({\bf u}(u))^TG{\bf u}(u) = -1,$$ (5.2)

así que la velocidad tangencial está propiamente normalizada.

Si la partícula en movimiento tiene masa $m$, entonces el vector energía-momento es ${\bf p} = m{\bf u}$ (omitimos aquí el argumento $u$), donde la energía es propiamente la coordenada temporal, y por tanto $e=m 1^2$, que corresponde a la famosa ecuación de Einstein $e=m c^2$, pues hemos considerado $c=1$ en este contexto. En una situación en reposo, la velocidad tangencial es ${\bf u}= [0\ \ 0\ \ 0\ \ 1]^T$. Supongamos que la curva ${\bf x}$ es el eje $z$, parametrizada a una velocidad $v$. Aplicando una transformación de Lorentz $L_v$, que sea una rotación espacio-temporal de la forma (1.5), se ha de tener

$$L_v{\bf p} = [0\ \ 0\ \ s(v)\,vm\ \ s(v)\,m]^T, \hspace{3em}\mbox{ con }s(v)=\frac{1}{\sqrt{1-v^2}}.$$

Ahora

$$\frac{ds}{dv}(v) = \frac{1}{(1-v^2)^{\frac{3}{2}}} \hspace{3e... ...m} \frac{d^2s}{dv^2}(v) = \frac{1+2v^2}{(1-v^2)^{\frac{5}{2}}},$$

por tanto, para velocidades pequeñas, alrededor de $v=0$, el desarrollo de Taylor hasta segundo orden es $s(v) = 1 + \frac{1}{2}v^2 + o(v^2),$ y en consecuencia la energía en el marco transformado es $e\approx m + \frac{1}{2}v^2m,$ o sea la suma de la energía en reposo más la energía cinética.

En la mecánica de Newton, se tiene ${\bf f} = m{\bf a} = \frac{d{\bf p}}{dt}$. El análogo relativista es

$${\bf f} = m \frac{d^2({\bf x}\circ\tau)}{du^2} = \frac{d{\bf p}}{du}(u),$$

o sea, la fuerza (propiamente la gravedad) es una distorsión del espacio-tiempo.

Considerando campos electromagnéticos, la fuerza queda dada por una expresión ${\bf f} = q({\bf E} +{\bf v} \times{\bf B} )$, donde $q$ es la carga de la partícula sujeta a los campos. De manera similar a como se hizo al final de la sección anterior se puede obtener una expresión ${\bf f} = \left[q F_i{\bf u}\right]_i,$ donde cada $F_i$ es un tensor.

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