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Variedades diferenciables

Sea $M$ un espacio topológico separado. Un mapa es una pareja $(U,\phi)$ donde $U\subset M$ es un conjunto abierto no-vacío y $\phi:U\to\mathbb{R}^n$ es un homeomorfismo $U\to\phi(U)\subset\mathbb{R}^n$, del cual se dice que determina un sistemas de coordenadas en $U$. Un atlas es una colección de mapas ${\cal U} = \left\{(U_{\alpha},\phi_{\alpha})\right\}_{\alpha\in A}$ con las propiededes siguientes:

• $\left\{U_{\alpha}\right\}_{\alpha\in A}$ es un recubrimiento de $M$: $M\subset\bigcup_{\alpha\in A}U_{\alpha}$.
• Los mapas son compatibles en intersecciones:
  
  $$\forall\alpha,\beta\in A:\ \left[U_{\alpha}\cap U_{\beta}\not... ...\alpha}\cap U_{\beta}\right)\mbox{ es un homeomorfismo}\right].$$
  
  

Si los homomorfismos son de clase $C^k$, el atlas se dice de clase $C^k$.

La pareja $(M,{\cal U})$, donde ${\cal U}$ es un atlas maximal de clase $C^k$ se dice ser una $C^k$-variedad (diferenciable de orden $k$), de dimensión $n$.

Aunque los mapas determinan inclusiones locales en $\mathbb{R}^n$, se tiene:

Teorema 1.6.1 (de inmersión (Whitney))   Toda $C^k$-variedad de dimensión $n$ se puede incluir (contínuamente) en $\mathbb{R}^{2n}$.

Como ejemplos de variedades están las siguientes:

El espacio euclidiano

$\mathbb{R}^n$ es una $C^{\infty}$-variedad de dimensión $n$.

Esfera

$S^n=\{{\bf x}\in\mathbb{R}^{n+1}\vert\ \Vert{\bf x}\Vert=1\}$ (los hemisferios determinan mapas, o bien las proyecciones estereográficas suprimiendo ``polos'').

Toro

$T^n=\mathbb{R}^n/\mathbb{Z}^n$ (los mapas son relativos a la topología cociente).

Superficies de Riemann de diverso género

Así como el toro bidimensional $T^2$ tiene un hoyo (es una dona) una superficie de Riemann de género $g$ es una superficie con $g$ hoyos.

Grupos de Lie

Sea $U(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n)$ el grupo de automorfismos lineales $\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n$. Entonces $U(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^n)$ es un espacio topológico, de hecho metrizable con la norma espectral, por ejemplo, y es además un grupo. Un grupo de Lie es un grupo topológico dotado de una estructura de variedad.

Productos de variedades

Si $M_0$ y $M_1$ son variedades, su producto $M_0\times M_1$ puede ser dotado de una estructura de variedad.

Una función $f:M\to\mathbb{R}$ es de clase $C^k$ si para cada punto $p\in M$ y mapa $(U,\phi)$ que contenga a $p$, se tiene que $f\circ\phi^{-1}:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ es de clase $C^k$ en una vecindad abierta de $\phi^{-1}(p)$. Sea $C^k(M)$ la colección de funciones $M\to\mathbb{R}$ de clase $C^k$. Claramente, $C^k(M)$ es un espacio vectorial real.

En cada punto $p\in M$, supongamos que $\gamma:\mathbb{R}\to M$ es una curva en $M$ tal que pasa por $p$, digamos $\gamma(t_0)=p$. Consideremos la transformación $\partial_{\gamma}\cdot (p):C^k(M)\to\mathbb{R}$ definida como

$$f\mapsto \partial_{\gamma}f\ (p)= D(f\circ\phi^{-1})(\phi(p))\left(\frac{d(\phi\circ\gamma)}{dt}(t_0)\right).$$ (6.1)

Puede verse que $\partial_{\gamma}\cdot (p)$ es independiente de $\phi$ y es lineal sobre $C^k(M)$, así pues, es un funcional lineal y es un elemento del espacio dual $C^k(M)^{\star}$. Esta transformación es la derivada direccional en $p$ según la curva $\gamma$. Sea $T_p\subset C^k(M)^{\star}$ la colección de derivadas direccionales sobre curvas que pasen por $p\in M$. La familia $T_p$ es un espacio vectorial real y se llama espacio tangente a $M$ en $p\in M$.

Escribiendo $\phi=(x_0,\ldots,x_{n-1})$, usando la regla de la cadena, se tiene de la expresión (6.1):

$$\partial_{\gamma}f\ (p) = \sum_{j=0}^{n-1}\partial_{x_j}(f\c... ...= \sum_{j=0}^{n-1}\partial_{\gamma}x_j(p)\ \partial_{x_j}f(p)$$ (6.2)

así pues, la derivada direccional en $p$ se expresa como una combinación lineal de las derivadas parciales $\left(\partial_{x_j}f(p)\right)_{j=0}^{n-1}$. Se tiene pues que la colección de funcionales $\left(\partial_{x_j}\cdot(p)\right)_{j=0}^{n-1}$ es una base de $T_p$, llamada de coordenadas, y por tanto $T_p$ es de dimensión $n$.

Ahora bien, si se cambia de coordenadas en el mapa, digamos a $\psi=(y_0,\ldots,y_{n-1})$, entonces por (6.2):

$$\forall i\in[\![0,n-1]\!]:\ \partial_{y_i}f(p) = \sum_{j=0}^{n-1}\partial_{y_i}x_j(p)\ \partial_{x_j}f(p).$$

En consecuencia para todo $f^{\star}\in T_p$: $\sum_{i=0}^{n-1}b_i\ \partial_{y_i}\cdot(p) = f^{\star} = \sum_{j=0}^{n-1}a_j\ \partial_{x_j}\cdot(p)$ si y sólo si:

$$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^{n-1}b_i\ \partial_{y_i}\cdot(p) &=& \sum_{i=0}^{n-... ...=0}^{n-1}b_i\partial_{y_i}x_j(p)\right)\ \partial_{x_j}\cdot(p) \end{eqnarray*}$$

Se ha de tener entonces ${\bf a} = J_p{\bf b}$, donde $J_p=\left[\partial_{y_i}x_j(p)\right]_{0\leq i,j\leq n-1}$ es la llamada matriz jacobiana del cambio del sistema de coordenadas. Por el Teorema de la Función Inversa:

$${\bf b} = J_p^{-1}{\bf a}\ \ \mbox{ donde }\ \ J_p^{-1}=\left[\partial_{x_j}y_i(p)\right]_{0\leq i,j\leq n-1}$$ (6.3)

El espacio cotangente en el punto $p\in M$ es el dual $T_p^{\star}$ del espacio tangente $T_p$.

Por ejemplo, si $f\in C^k(M)$ es una función, el funcional

$$\mbox{d}f:\partial_{\gamma}\cdot(p)\mapsto\mbox{d}f(\partial_{\gamma}\cdot(p)) = \partial_{\gamma}f(p)$$

es un elemento del espacio cotangente $T_p^{\star}$. $\mbox{d}f$ se dice ser el gradiente de $f$ en $p$.

Si $(U,\phi=(x_0,\ldots,x_{n-1}))$ es un mapa en $p$, entonces

$$\forall i,j\in[\![0,n-1]\!]:\ \mbox{d}x_i(\partial_{x_j}\cdot(p)) = \partial_{x_j}x_i(p) = \delta_{ij},$$

por tanto $\left(\mbox{d}x_i\right)_{i=0}^{n-1}$ es la base de $T_p^{\star}$ dual de la base de coordenadas $\left(\partial_{x_j}\cdot(p)\right)_{j=0}^{n-1}$ de $T_p$.

Los vectores tangentes son $(0,1)$-tensores y los funcionales son $(1,0)$-tensores. En general el espacio de los $(k,\ell)$-tensores tiene como base

$$\left\{\partial_{x_{j_0}}\otimes\cdots\otimes\partial_{x_{j_{... ...t\}_{{\bf j}\in[\![0,n-1]\!]^k,{\bf i}\in[\![0,n-1]\!]^{\ell}}.$$

Por tanto, todo $(k,\ell)$-tensor puede escribirse de la forma

$$T = \sum_{{\bf j}\in[\![0,n-1]\!]^k,{\bf i}\in[\![0,n-1]\!]^{... ...mes\ \mbox{d}x_{i_0}\otimes\cdots\otimes\mbox{d}x_{i_{\ell-1}}.$$

Si se cambia de coordenadas en el mapa, digamos a $\psi=(y_0,\ldots,y_{n-1})$, entonces respecto a las bases $\left(\partial_{x_j}\cdot(p)\right)_{j=0}^{n-1}$, $\left(\partial_{y_j}\cdot(p)\right)_{j=0}^{n-1}$ y a sus duales $\left(\mbox{d}x_i\right)_{i=0}^{n-1}$, $\left(\mbox{d}y_i\right)_{i=0}^{n-1}$, el cambio de coordenadas del $(k,\ell)$-tensor se hace según (6.3), (2.1), (2.4) y (3.3).

Sea $G=\left[g_{ij}\right]_{i,j\in[\![0,n-1]\!]}$ una matriz simétrica no-singular. $G$ determina un $(0,2)$-tensor

$$T_G = \sum_{i,j=0}^{n-1}g_{ij}\ \mbox{d}x_i\otimes \mbox{d}x_j = (\mbox{d}\phi)^T \,G\, \mbox{d}\phi,$$ (6.4)

el cual se dice ser una métrica. La raíz cuadrada de éste es el elemento de superficie: $ds=\sqrt{\vert T_G\vert}$.

Si se tiene un nuevo sistema de coordenadas $\psi=(y_0,\ldots,y_{n-1})$ en un punto $p\in M$, de acuerdo con las fórmulas de cambio de variables,

$$T_G = (\mbox{d}\psi)^T \,(J_p^{-1})^TGJ_p^{-1}\, \mbox{d}\psi.$$ (6.5)

Por ejemplo, para $n=3$, la matriz $G=\mbox{Id}_3$ determina el elemento de superficie

$$ds = \sqrt{\mbox{d}x_0\otimes \mbox{d}x_0 + \mbox{d}x_1\otimes \mbox{d}x_1 + \mbox{d}x_2\otimes \mbox{d}x_2}.$$

Al hacer el cambio a coordenadas esféricas:

$$x_0 = y_0 \,\mbox{\rm sen}\,y_1\cos y_2\ \ ,\ \ x_2 = y_0 \,\mbox{\rm sen}\,y_1\,\mbox{\rm sen}\,y_2\ \ ,\ \ x_2 = y_0 \cos y_1$$

($y_0$ es el radio, $y_1$ es el ángulo cenital e $y_2$ es el ángulo azimutal), se tiene que el elemento de superficie se expresa como

$$ds = \sqrt{\mbox{d}y_0\otimes \mbox{d}y_0 + y_0^2\,\mbox{d}y_... ..._0^2(\,\mbox{\rm sen}\,y_1)^2\,\mbox{d}y_2\otimes \mbox{d}y_2}.$$

Las matrices semiunitarias (reales) son aquellas con valores propios $+1,0,-1$. Al ser diagonalizadas adquieren la forma $G=\mbox{diag}[+1 \ \ \cdots \ \ +1 \ \ -1 \ \ \cdots \ \ -1 \ \ 0 \ \ \cdots \ \ 0]$ (llamada forma canónica). Si $s$ es la multiplicidad de $+1$ y $t$ la de $-1$, entonces $s-t$ es la signatura y $s+t$ el rango de $G$. Si $t=0$, $G$ se dice ser euclidiana o positiva. La matriz es pues una métrica si su rango es $n$. Una métrica euclidiana es positiva definida. Si $t=1$ (es decir la multiplicidad de $-1$ es $1$), la métrica se dice ser lorentziana. En relatividad, en particular en el espacio-tiempo, las métricas lorentzianas son de gran relevancia. $(\mathbb{R}^n,G)$, donde $G$ es una métrica euclidiana, se dice ser el espacio plano. $(\mathbb{R}^n,G)$, donde $G$ es una métrica lorentziana, se dice ser un espacio curvo.

Sea $M$ una $C^k$-variedad diferenciable de dimensión $n$. Sea $G:M\to\mathbb{R}^{n\times n}$ un campo que a cada punto $p\in M$ le asocia una métrica en el espacio tangente $T_p$. Puede verse que en cada punto $p\in M$ existe un sistema de coordenadas $\phi_p=(x_0,\ldots,x_{n-1})$ tal que $G(p)$ queda en forma canónica, las primeras derivadas $\partial_{\ell}g_{ij}(p)$ se anulan todas pero las segundas derivadas $\partial_{\ell_0,\ell_1}g_{ij}(p)$ no se anulan todas. Tal sistema $\phi_p$ se dice ser un sistema riemanniano normal o bien un marco local lorentziano. La existencia de sistemas riemannianos normales se prueba considerando las fórmulas de cambios de base, expansiones de Taylor y cambios de orientación mediante el tensor de Levi-Civitá [2].

Precisamente al considerar el tensor de Levi-Civitá $\left(\varepsilon_{\bf i}\right)_{{\bf i}\in[\![0,n-1]\!]^n}$ ( $\varepsilon_{\bf i}=\mbox{sgn}({\bf i})$ si ${\bf i}$ es una permutación y $\varepsilon_{\bf i}=0$ en otro caso) se tiene que cualquiera que sea la matriz $A\in\mathbb{R}^{n\times n}$:

$$\forall{\bf i}\in[\![0,n-1]\!]^n:\ \ \varepsilon_{\bf i}\det(... ...{{\bf j}\in S_n}\varepsilon_{\bf j}\prod_{k=0}^{n-1}a_{i_kj_k}.$$

En particular, si se tiene un nuevo sistema de coordenadas $\psi=(y_0,\ldots,y_{n-1})$ en un punto $p\in M$ se tiene

$$\forall{\bf i}\in[\![0,n-1]\!]^n:\ \ \varepsilon_{\bf i}\det(... ...}\varepsilon_{\bf j}\prod_{k=0}^{n-1}\partial_{y_{i_k}}x_{j_k}.$$

Por tanto

$$\forall{\bf i}\in[\![0,n-1]\!]^n:\ \ \varepsilon_{\bf i} = (... ...\varepsilon_{\bf j}\prod_{k=0}^{n-1}\partial_{y_{i_k}}x_{j_k},$$ (6.6)

es decir, el tensor de Levi-Civitá se afecta por un factor $(\det(J_p))^{-1}$ con el cambio de base.

Ahora bien, si $G$ es una métrica, de acuerdo con la relación (6.5), se tiene

$$\det G' = \det\left((J_p^{-1})^TGJ_p^{-1}\right) = (\det J_p)^{-2}\det G,$$

donde $G'$ es la matriz que representa a la métrica respecto al nuevo sistema de coordenadas.

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