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Series sobre los racionales

Sea $\mbox{\bf X}=(X_1,\ldots,X_n)$ una lista de n variables. Una serie racional sobre $I\!\!\!\!Q$ es de la forma $p(\mbox{\bf X})=\sum_{\mbox{\bf i}\in I\!\!N^n}p_{\mbox{\bf i}}\mbox{\bf X}^{\mbox{\bf i}}$, con $p_{\mbox{\bf i}}\in I\!\!\!\!Q$, y $\mbox{\bf X}^{\mbox{\bf i}}=X_1^{i_1}\cdots X_n^{i_n}$. Denotamos por $I\!\!\!\!Q[[\mbox{\bf X}]]$ a la colección de todas las series racionales sobre $\mbox{\bf X}$. La siguiente proposición es verdadera:

Proposición 5.1   $I\!\!\!\!Q[[\mbox{\bf X}]]$ tiene una estructura de anillo conmutativo con la suma y el producto convencionales de series. Más aún, forma un dominio entero:

$$p(\mbox{\bf X})q(\mbox{\bf X})=0\Rightarrow (p(\mbox{\bf X})=0)\mbox{\rm\'o }(q(\mbox{\bf X})=0).$$

Además, los elementos invertibles en $I\!\!\!\!Q[[\mbox{\bf X}]]$ son aquellos cuyo coeficiente ``independiente'' no es nulo:

$$\exists q(\mbox{\bf X})\in I\!\!\!\!Q[[\mbox{\bf X}]]:\left(\... ...ht)q(\mbox{\bf X})=1 \;\Leftrightarrow\; p_{\mbox{\bf0}}\not=0.$$

En el dominio de series $I\!\!\!\!Q[[\mbox{\bf X}]]$ es posible , bajo determinadas circunstancias, resolver ecuaciones de la forma $\mbox{\bf X}=F(\mbox{\bf X})$.

Proposición 5.2   La ecuación $X=\frac{1}{1-p(\mbox{\bf X})}$ tiene como solución $X=\sum_{m=0}^{+\infty} \left(p(\mbox{\bf X})\right)^m$.

En efecto, $\sum_{m=0}^{M} \left(p(\mbox{\bf X})\right)^m=\frac{1-\left(p(\mbox{\bf X})\right)^{M+1}}{1-p(\mbox{\bf X})}$. Así pues, en el conjunto de puntos $\mbox{\bf x}\in I\!\!\!\!Q^n$ tales que $p(\mbox{\bf x})<1$ se ha de tener que $\sum_{m=0}^{+\infty} \left(p(\mbox{\bf x})\right)^m=\frac{1}{1-p(\mbox{\bf x})}$. La igualdad de la serie con una función analítica dentro de un conjunto en $I\!\!\!\!Q^n$ con interior no vacío hace que la igualdad valga en el dominio $I\!\!\!\!Q[[\mbox{\bf X}]]$.

Proposición 5.3   La ecuación $X=\sum_{k=0}^K a_k(Y)X^k$, donde cada coeficiente a_k es una forma polinomial en Y, se resuelve mediante un sistema de ecuaciones recurrentes.

En efecto, escribamos $X=\sum_{m=0}^{+\infty} b_mY^m$. De la ecuación, se tiene

$$\sum_{k=2}^K a_k(Y)X^k+(a_1(Y)-1)X+a_0(Y)=0,$$

al sustituir X se tiene

 

$$\sum_{k=2}^K a_k(Y)X^k+(a_1(Y)-1)X+a_0(Y)$$ 0 =

$$\sum_{k=2}^K a_k(Y)\left(\sum_{m=0}^{+\infty} b_mY^m\right)^k+(a_1(Y)-1)\left(\sum_{m=0}^{+\infty} b_mY^m\right)+a_0(Y)$$ = (56)

$$\sum_{j=0}^J g_j(\mbox{\bf b}) Y^j$$ =

donde cada g_j se obtiene al expander las expresiones en 6.1. Así pues se ha de tener que, $\forall j\leq J:g_j(\mbox{\bf b})=0$. Ejemplo. Resolver en $I\!\!\!\!Q[[X,Y]]$ la ecuación

 

X²+(Y-1)X+Y=0 (57)

Escribamos $X=\sum_{m=0}^{+\infty} b_mY^m$. Al tomar cuadrados $X^2=\sum_{m=0}^{+\infty} c_mY^m$, donde para cada $m\geq 0$, $c_m=\sum_{k=0}^mb_{m-k}b_k$. Es decir,

$$c_m=\left\{\begin{array}{ll} 2\left(\sum_{k=0}^{\frac{m-1}{2... ...mbox{\rm si $m\equiv 0\mbox{\rm mod }2$. } \end{array}\right.$$

Al sustituir en 6.2 tenemos

$$\begin{eqnarray*}0 &=& \sum_{m=0}^{+\infty} c_mY^m +(Y-1)\sum_{m=0}^{+\infty} b_... ..._0)+ (c_1-b_1+b_0+1)Y+\sum_{m=2}^{+\infty} (c_m-b_m+b_{m-1})Y^m \end{eqnarray*}$$

y consecuentemente se tiene el sistema de ecuaciones recurrentes

$$\begin{eqnarray*}0 &=& c_0-b_0 \\ 0 &=& c_1-b_1+b_0+1 \\ \forall m\geq 2:\ \ 0 &=& c_m-b_m+b_{m-1} \end{eqnarray*}$$

Recordando las expresiones para c_m obtenemos el sistema de recurrencias equivalente

$$\begin{array}{rclcl} 0 &=& b_0^2-b_0 &=& b_0(b_0+1) \\ 0 &... ...\left(\sum_{k=1}^{m-1} b_kb_{m-k}\right) + b_{m-1} \end{array}$$

Así pues, para b₀ hay dos posibles valores, 0,1. Fijo b₀ los demás coeficientes se calculan recurrentemente mediante las relaciones

$$\begin{eqnarray*}b_1 &=& \frac{1+b_0}{1-2b_0} \\ \forall m\geq 2:\ \ b_m &=& \... ...}\left( b_{m-1}+\left(\sum_{k=1}^{m-1} b_kb_{m-k}\right)\right) \end{eqnarray*}$$

Las dos soluciones corresponden precisamente a que la ecuación 6.2 es de grado 2 y por tanto tiene dos raices.


Un antiguo método para resolver en $I\!\!\!\!Q[[Y]]$ ecuaciones de la forma X=F(X,Y), donde F es una función afín de la forma F(X,Y)=Yf(X)+c, es debido a Lagrange.

Proposición 5.4 (Lagrange)   Para una ecuación de la forma X=Yf(X)+c, donde $c\in I\!\! R$,

• $f(X)=\sum_{m\geq 0} e_mX^m$ es una función analítica, y
• el término ``independiente'' no es nulo, $e_0\not=0$,

y para una función derivable $g:I\!\! R\rightarrow I\!\! R$ se tiene que la expresión g(X) satisface la ecuación

$$g(X)=g(c)+\sum_{m\geq 1} \frac{1}{m!}\left[\left.\frac{\texts... ...dx^{m-1}}\left(g'(x)f(x)^m\right)\right\vert _{x=c}\right] Y^m.$$

En particular, para g(x)=x, o sea, para la función identidad, se tiene

$$X=c+\sum_{m\geq 1} \frac{1}{m!}\left[\left.\frac{\textstyle d... ...e dx^{m-1}}\left(f(x)^m\right)\right\vert _{x=c}\right] Y^m.$$ (58)

En efecto, supongamos por un momento que c=0. Puesto que X=Yf(X) y $f(0)=e_0\not=0$ se tiene que $Y=\frac{X}{f(X)}$ puede expresarse como una serie de potencias $Y=\sum_{n\geq 1} a_nX^n$. Dada la función g, se busca expresar a g(X) como una serie de potencias en Y, es decir, se busca coeficientes $\left(b_m\right)_{m\geq 0}\subset I\!\!\!\!Q$ tales que

$$g(Y)=\sum_{\nu\geq 0}b_{\nu}Y^{\nu}$$ (59)

Como para X=0 se tiene Y=0, a fortiori

 

b₀=g(0) (60)

Por otro lado, al derivar, respecto a X la ecuación 6.4 se tiene

$$\frac{\textstyle dg}{\textstyle dX}=\sum_{\nu\geq 0}\nu b_{\nu}Y^{\nu-1}\frac{\textstyle dY}{\textstyle dX},$$

al multiplicar por f(X)^m, con $m\geq 1$, resulta

$$g'(X)f(X)^m=\sum_{\nu\geq 0}\nu b_{\nu}Y^{\nu-1}f(X)^m\frac{\textstyle dY}{\textstyle dX},$$

y como $f(X)=\frac{X}{Y}$ se tiene

$$g'(X)f(X)^m=\sum_{\nu\geq 0}\nu b_{\nu}Y^{\nu-m-1}X^m\frac{\textstyle dY}{\textstyle dX}$$ (61)

Estimemos cada uno de los sumandos en la serie de la derecha. Consideremos dos casos:

• Para $\nu=m$ se tiene $b_{\nu}Y^{\nu-m-1}X^m\frac{\textstyle dY}{\textstyle dX}=mb_{m}X^m\frac{1}{Y}\frac{\textstyle dY}{\textstyle dX}$. Ahora bien,
  
  $$\frac{1}{Y}\frac{\textstyle dY}{\textstyle dX}=\frac{\left({\... ...{\displaystyle 1+\sum_{n\geq 2} \frac{a_n}{a_1}X^{n-1}}\right)}$$
  
  
  y como este último cociente es anaítico (bajo ciertas condiciones), existen coeficientes c_m tales que
  
  $$\frac{1}{Y}\frac{\textstyle dY}{\textstyle dX}=\frac{1}{X}\left(1+\sum_{\mu\geq 1} c_{\mu}X^{\mu}\right).$$
  
  
  Por tanto $mb_{m}X^m\frac{1}{Y}\frac{\textstyle dY}{\textstyle dX}=mb_{m}X^{m-1}\left({\displaystyle 1+\sum_{\mu\geq 1} c_{\mu}X^{\mu}}\right)$. Así pues este sumando determina, para la potencia X^m-1, el coeficiente mb_m.
• Para $\nu\not=m$ se tiene
  
  $$\nu b_{\nu}Y^{\nu-m-1}X^m\frac{\textstyle dY}{\textstyle dX}=... ...}X^m\frac{1}{\nu-m}\frac{\textstyle dY^{\nu-m}}{\textstyle dX}.$$
  
  
  Al calcular la derivada $\frac{\textstyle dY^{\nu-m}}{\textstyle dX}$ se observa que el término $\frac{1}{X}$ no aparece y por tanto este sumando no afecta a la potencia X^m-1.

Ahora bien, al derivar la ecuación 6.6 m-1 veces respecto a X, en el punto X=0, se obtiene el coeficiente de la potencia X^m-1 multiplicado por el factorial m!. Es decir,

$$\left.\frac{\textstyle d^{m-1}}{\textstyle dX^{m-1}}\left(f(X)^m\right)\right\vert _{X=0}=(m-1)!mb_m,$$

y en consecuencia

$$b_m=\frac{1}{m!}\left.\frac{\textstyle d^{m-1}}{\textstyle dX^{m-1}}\left(f(X)^m\right)\right\vert _{X=0}.$$

Así pues, esto último junto con 6.5 y 6.4 da

$$g(X)=g(0)+\sum_{m\geq 1} \frac{1}{m!}\left[\left.\frac{\texts... ...{m-1}}\left(g'(x)f(x)^m\right)\right\vert _{x=0}\right] Y^m.$$ (62)

Finalmente, para $c\not=0$, renombremos como Z a la variable en 6.7, y luego introduzcamos el cambio de variable X=Z+c. Se obtiene así la ecuación

$$g(X)=g(0)+\sum_{m\geq 1} \frac{1}{m!}\left[\left.\frac{\texts... ...x^{m-1}}\left(g'(x)f(x)^m\right)\right\vert _{x=c}\right] Y^m.$$

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