II

$$Y=\frac{X-1}{2X-1}$$ (6.4)

Que se tiene una asíntota horizontal en $Y=\frac{1}{2}$; un polo en $X=\frac{1}{2}$ y un cero $X=1$

y superponiendo las dos gráficas, ya que pertenecen a la misma ecuación, resulta

Por lo tanto vemos que existe una verdadera intersección de los dos lugares geométricos; estos puntos de intersección se pueden localizar de la siguiente manera: De (6.3) y (6.4)

$$\frac{X-1}{2X-1} =-\frac{X+1}{2X+1} \rightarrow (X-1)(2X+1) = -(2X-1)(X+1)$$

efectuando los productos y simplificando resulta que

$$X=\pm \frac{1}{\sqrt{2}} =\pm .707$$

y sustituyendo el valor de $X$ en cada una de las ecuaciones (6.3) y (6.4) se encuentra que la intersección ocurre en los puntos $(.70, -.75)$ y $(-.70, -.75)$.

Por un procedimiento similar tenemos para $m = 2$ el polinomio característico resulta ser

$$64X^3Y^3 -32(X^3Y +XY^3) +28XY +32X^2Y^2 -8(X^2 +Y^2) +6 =0$$

y después de cierta álgebra, resulta el polinomio factorizado en la forma siguiente

$$(4XY+1)(8Y^2 -4) \left(X+\frac{Y+\sqrt{32Y^4 -39Y^2 +12}}{8... ... \left(X-\frac{Y+\sqrt{32Y^4 -39Y^2 +12}}{8Y^2 -4}\right) = 0$$

graficando estos factores independientemente y superponiendo las gráficas resulta finalmente que:

En esta gráfica se muestra claramente la intersección de las diferentes trayectorias; en esta gráfica tenemos asíntotas verticales en: $X=-\frac{1}{\sqrt{2}},X=\frac{1}{\sqrt{2}}$ y $X=0$ y una asíntota horizontal en $Y = 0$.

Por un análisis similar, se puede demostrar para $m=3$, y $4$, ya que para argumentos más grandes el álgebra se complica bastante.