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Filtros y ultrafiltros

Sea $(A,\land,\lor,\overline{\ },\mbox{\bf 1},\mbox{\bf0})$ un álgebra booleana.

Definición 4.1   Un FILTRO es un conjunto $F\subset A$ que cumple las implicaciones siguientes:

• $x,y\in F\ \Rightarrow\ x\land y\in F$
• $x\in F\ \&\ x\leq y\ \Rightarrow\ y\in F$

De manera dual, un IDEAL es un conjunto $I\subset A$ que cumple las implicaciones siguientes:

• $x,y\in I\ \Rightarrow\ x\lor y\in I$
• $x\in I\ \&\ x\geq y\ \Rightarrow\ y\in I$

Así por ejemplo, si $x\in A$ es un elemento arbitrario, su cono superior $C^+_x=\{y\in A\vert x\leq y\}$ es un filtro de $A$, llamado FILTRO PRINCIPAL GENERADO POR $x$ y su cono inferior $C^-_x=\{y\in A\vert x\geq y\}$ es un ideal de $A$, llamado IDEAL PRINCIPAL GENERADO POR $x$. Para $x=\mbox{\bf 1}$, el filtro principal que genera consta únicamente de $\mbox{\bf 1}$, en tanto que el ideal principal que genera es toda el álgebra $A$. Para $x=\mbox{\bf0}$, el ideal principal que genera consta únicamente de $\mbox{\bf0}$, en tanto que el filtro principal que genera es toda el álgebra $A$. Un ideal o un filtro es PROPIO si es distinto de los casos extremos: $\{\mbox{\bf 1}\}$ y $A$ en el caso de filtros y $\{\mbox{\bf0}\}$ y $A$ en el caso de ideales. El álgebra booleana $A$ se dice ser de IDEALES PRINCIPALES si todo ideal es un ideal principal generado por algún elemento en $A$. Si $A$ es un álgebra finita, entonces ciertamente es de ideales principales.

Definición 4.2   Un conjunto $B\subset A$ se dice tener la PROPIEDAD DE INTERSECCIÓN FINITA si todo conjunto finito de $B$ tiene un ínfimo no-nulo:

$$b_1,\ldots,b_n\in B\ \Rightarrow\ b_1\land \cdots \land b_n\not=\mbox{\bf0}.$$

Para un conjunto $B$, sea $B^0$ el conjunto de elementos minorizados por algún elemento en $B$:

$$B^0 = \{a\in A\vert\exists b\in B: b\leq a\},$$

y sea $B^c$ el conjunto de ínfimos de conjuntos finitos en $B$:

$$B^c = \{b_1\land \cdots \land b_n\vert b_1,\ldots,b_n\in B\}.$$

Una BASE de un filtro $F$ es todo conjunto $B$ tal que $B^0=F$. Una SUB-BASE del filtro $F$ es un conjunto $B$ tal que $B^c$ sea una base de $F$.

Proposición 4.1   Sea $B\not=\emptyset$ un conjunto no vacío en el álgebra booleana $A$. Entonces:

1. $\left(B^c\right)^0$ es un filtro.
2. Si $F$ es un filtro que contiene a $F$ entonces contiene también a $\left(B^c\right)^0$. Por esto, se dice que $\left(B^c\right)^0$ es el filtro GENERADO por $B$.
3. Si $B$ tiene la propiedad de intersección finita, entonces $\left(B^c\right)^0$ es un filtro propio.

Demostración
Observamos primeramente que para cada $x\in A$:

$$x\in \left(B^c\right)^0\ \Leftrightarrow\ \exists b_1,\ldots,b_n\in B:\ b_1 \land \cdots \land b_n \leq x.$$

De aquí resulta claro que $\left(B^c\right)^0$ es, en efecto, un filtro. Ahora, si $F$ es un filtro que contiene a $B$, entonces claramente $B^c\subset F$ y también $\left(B^c\right)^0\subset F$. Para probar el último punto, observamos que si acaso $B$ no tuviese la propiedad de intersección finita, entonces existirían $b_1,\ldots,b_n\in B$ tales que $b_1 \land \cdots \land b_n =\mbox{\bf0}$. Por tanto $\mbox{\bf0}\in\left(B^c\right)^0$ y, en consecuencia, $\left(B^c\right)^0=A$. Así pues, $\left(B^c\right)^0$ no es propio. Recíprocamente, si $\left(B^c\right)^0$ no fuese propio, entonces $\left(B^c\right)^0=A$ y habría $b_1,\ldots,b_n\in B$ tales que $b_1 \land \cdots \land b_n =\mbox{\bf0}$, es decir, $B$ no tendría la propiedad de intersección finita. $\quad\Box$ Un filtro es un subconjunto de un álgebra booleana. Por tanto, la colección de filtros propios forma un conjunto ordenada con la relación de ``contención de conjuntos''. Los elementos maximales en esa colección son los ultrafiltros.

Definición 4.3   Un filtro propio $U\subset A$ es un ULTRAFILTRO si para todo filtro $F\subset A$ rige la implicación:

$$U\subset F\ \Rightarrow\ U=F.$$

Una primera caracterización de ultrafiltros la da la proposición siguiente:

Proposición 4.2   Un filtro propio $U\subset A$ es un ultrafiltro si y sólo si se cumple la condición:

$$\forall x\in A:\ x\in U\ \mbox{\it o }\ \overline{x}\in U,$$ (1)

es decir, para todo elemento en el álgebra, bien él o su complemento, mas no ambos, está en el ultrafiltro.

Demostración
Supongamos primero que $U$ sea un ultrafiltro. Sea $x\in A$ un elemento tal que $x\not \in U$. Sea $V$ el filtro generado por $U\cup \{x\}$. Al ser $U$ un ultrafiltro contenido propiamente en $V$ necesariamente $V=A$. Por tanto $U\cup \{x\}$ no tiene la propiedad de intersección finita. Así, existen $u_1,\ldots,u_n\in U$ tales que $\left(u_1 \land \cdots \land u_n\right)\land x = \mbox{\bf0}$, es decir $\left(u_1 \land \cdots \land u_n\right)\leq \overline{x}$, o sea $\overline{x}\in U$.

Recíprocamente, supongamos que se cumple la condición (1). Sea $F$ un filtro cualquiera que contenga propiamente a $U$. Entonces para algún $x\in A$ se tiene $x\in F-U$. Por (1) se ha de tener que $\overline{x}\in U\subset F$. Así pues, ambos elementos $x$ y $\overline{x}$ están en $F$ y, en consecuencia, $\mbox{\bf0}=x\land\overline{x}\in F$. Por tanto $F$ no puede ser propio pues ha de coincidir con $A$. Así pues, $U$ no puede estar contenido propiamente en un filtro propio y, en consecuencia, $U$ es un ultrafiltro. $\quad\Box$ Por ejemplo, si $x_0\in A$ es un átomo en el álgebra booleana, entonces su cono superior $C_{x_0}^+$ es un ultrafiltro. En efecto, veamos que se cumple la condición (1). Sea $x\in A$ tal que $x_0\not\leq x$. Entonces $x_0\land\overline{x}\not=\mbox{\bf0}$. Al ser $x_0$ un átomo, necesariamente $x_0\land\overline{x}=x_0$, es decir $x_0\leq \overline{x}$, lo cual indica que $\overline{x}\in C_{x_0}^+$. En general, aún en álgebras que no sean atómicas, se tiene que habrá ultrafiltros. De hecho, cualquier filtro queda contenido en algún ultrafiltro.

Teorema 4.1 (de ultrafiltros)   Todo filtro en un álgebra booleana puede extenderse a un ultrafiltro.

Demostración
Sea $F$ un filtro en un álgebra booleana y sea ${\cal F}$ la colección de filtros que contienen a $F$. ${\cal F}$ no es vacío pues $F\in{\cal F}$. ${\cal F}$ está ordenado por inclusión. Un ultrafiltro será un elemento maximal en ${\cal F}$. Para ver que existen elementos maximales utilizaremos el Lema de Zorn: Si en un conjunto ordenado toda cadena está acotada superiormente, entonces existen elementos maximales. Sea pues ${\cal D} = \left(D_i\right)_{i\in I}$ una cadena en ${\cal F}$, y sea $D=\bigcup_{i\in I} D_i$. Veamos que $D$ es un filtro: Si $x,y\in D$ entonces existen $i,j\in I$ tales que $x\in D_i$ e $y\in D_j$. Al ser ${\cal D}$ una cadena, para algún $k\in\{i,j\}$ se ha de tener que $x,y\in D_k$. Como $D_k$ es un filtro, $x\land y\in D_k\subset D$. Si $x\in D$ y $x\leq y$ entonces para alguna $i$, $x\in D_i$ y al ser éste un filtro, $y\in D_i\subset D$. Ahora bien, como para todo $i$, $\mbox{\bf0}\not \in D_i$, se tiene que $\mbox{\bf0}\not \in D$. $D$ es pues un filtro propio que acota superiormente a la cadena ${\cal D}$. Así pues, ${\cal F}$ posee elementos maximales. Cualquiera de éstos es un ultrafiltro que extiende al filtro $F$. $\quad\Box$

Observación 4.1   Cualquier conjunto de elementos en un álgebra booleana que tenga la propiedad de intersección finita puede extenderse a un ultrafiltro.

En efecto, todo conjunto con la propiedad de intersección finita se extiende a un filtro y éste a su vez a un ultrfiltro.

Observación 4.2   Todo elemento no-nulo en un álgebra booleana está contenido en un ultrafiltro.

En efecto, si $x\in A$ es tal que $x\not=\mbox{\bf0}$ entonces la mónada $\{x\}$ tiene la propiedad de intersección finita. Por tanto se extiende a un ultrafiltro.

Observación 4.3   Dados dos elementos cualesquiera en un álgebra booleana, existe un ultrafiltro que los separa, es decir: $\forall x,y\in A$, si $x\not=y$ entonces existe un ultrafiltro $U$ tal que $x\in U$ pero $y\not\in U$.

En efecto, si $x\not=y$ entonces bien $x\not\leq y$ o $y\not\leq x$. Supongamos $x\not\leq y$, entonces $x\land\overline{y}\not = \mbox{\bf0}$. Así pues, la pareja $\{x,\overline{y}\}$ tiene la propiedad de intersección finita. Por tanto se extiende a un ultrafiltro, digamos $U$. Pues bien, $x\in U$ y, como $\overline{y}\in U$, $y\not\in U$. $\quad\Box$

Observación 4.4   Si $X$ es un conjunto infinito, entonces el álgebra booleana de sus partes, $({\cal P}(X),\cup,\cap,\overline{\cdot},\emptyset,X)$ posee un ultrafiltro no-principal.

En efecto, sea $\mbox{\rm co-}{\cal F}(X)=\{A\subset X\vert X-A\mbox{\rm es finito}\}$ la colección de conjuntos cofinitos en $X$. Entonces $\emptyset\not\in\mbox{\rm co-}{\cal F}(X)$ y cualesquiera dos elementos en $\mbox{\rm co-}{\cal F}(X)$ se cortan. Estas dos propiedades bastan para ver que $\mbox{\rm co-}{\cal F}(X)$ tiene la propiedad de intersección finita. Un ultrafiltro que lo extienda no puede ser principal. $\quad\Box$
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