Posterior: Algebras
booleanas Arriba: Estructuras
algebraicas básicas Anterior: Conjuntos ordenados
Definición 2.1 Sea
![$(A,\leq)$](img12.png)
un conjunto ordenado.
![$A$](img6.png)
es un
RET´i
CULO
INFERIOR si cualquier pareja de elementos en
![$A$](img6.png)
posee un ínfimo.
![$A$](img6.png)
es un
RET´i
CULO
SUPERIOR si cualquier pareja de elementos en
![$A$](img6.png)
posee un supremo.
![$A$](img6.png)
es un
RET´i
CULO, a secas, si
![$A$](img6.png)
es, a la vez, un
retículo inferior y un retículo superior.
es un retículo. Pero el conjunto
unión de los divisores de
y de
, que tiene
elementos, es un retículo inferior que no
es superior.
Si
no es vacío, entonces su conjunto de partes
es un retículo.
Sea
un retículo. Para cualesquiera
escribamos
son pues operaciones binarias definidas en
.
Observación 2.1 Es evidente que las
operaciones
![$\land,\lor:A^2\to A$](img85.png)
poseen las siguientes propiedades:
- Asociatividad.
-
:
- Conmutatividad.
-
:
- Idempotencia.
-
:
- Absorción.
-
:
- Criterio de comparación.
-
:
Las operaciones del retículo se obtienen del orden en el
conjunto ordenado. También puede procederse al revés,
según se enuncia en la siguiente
Proposición 2.1 Sea
![$(A,\land,\lor)$](img93.png)
una estructura algebraica tal que
![$\land,\lor:A^2\to A$](img85.png)
son operaciones binarias asociativas,
conmutativas, idempotentes y que satisfacen las relaciones de ``orden''
definidas arriba. Entonces, la relación definida como
![\begin{displaymath}
\forall x,y\in A:\ x\leq y \ \Leftrightarrow\ x\land y = x.
\end{displaymath}](img94.png) |
(1) |
es de orden, con la cual
![$(A,\leq)$](img12.png)
es un retículo
cuyas operaciones de unión e inter son precisamente
![$\lor$](img95.png)
y
![$\land$](img96.png)
.
La demostración de esta proposición es directa de las
definiciones y por ende la asignamos al lector. Primero hay que ver que
la relación definida por (1)
es, en efecto, reflexiva, transitiva y simétrica. Luego hay que
ver que dados dos elementos
,
es el ínfimo de esa pareja y
es el
supremo.
Ejemplo 2.1 ![$({\mathbb{Z}}^n,\leq_n)$](img99.png)
es un retículo con las
operaciones
![$\land:(\mbox{\bf x},\mbox{\bf y}) \mapsto \left[\min(x_j,y_j)\right]_{j=1}^n$](img100.png)
y
![$\lor:(\mbox{\bf x},\mbox{\bf y}) \mapsto \left[\max(x_j,y_j)\right]_{j=1}^n$](img101.png)
.
En este ejemplo, puede verse que si dos vectores
,
no son comparables en
, entonces los segmentos
y
son las diagonales principales de un rectángulo de
dimensión
con aristas paralelas a los ejes de
coordenadas.
Demostración
1. Supongamos
. Se tiene:
. Luego:
por tanto,
. Similarmente:
. Luego:
por tanto,
.
2. Para probar esa desigualdad hay que ver que
y también que
. Pero estas dos desigualdades
se siguen inmediatamente del punto 1.
3. Estas desigualdades se prueban similarmente a las de 2.
Definición 2.2 Sea
![$(A,\land,\lor)$](img93.png)
un retículo. Diremos que
![$A$](img6.png)
está
ACOTADO INFERIORMENTE si
posee un elemento mínimo, al que denotaremos por
![$\mbox{\bf0}$](img119.png)
. Diremos que
![$A$](img6.png)
está
ACOTADO
SUPERIORMENTE si posee un elemento
máximo, al que denotaremos por
![$\mbox{\bf 1}$](img120.png)
.
![$A$](img6.png)
está acotado si lo está tanto inferior como
superiormente.
Por ejemplo
no está acotado de ninguna
manera.
está acotado inferiormente y el
elemento mínimo es
.
está acotado inferiormente, y su
elemento mínimo es el número 1, es decir
. En ese retículo, para cada
el cono inferior
consistente de todos los divisores de
forma un
subretículo acotado. En él, el mínimo es
y el máximo es
.
Naturalmente, si
es un retículo
acotado entonces
:
y
. Es decir,
y
son unidades de los operadores inter y
unión respectivamente.
Definición 2.3 Sea
![$(A,\land,\lor,\mbox{\bf 1},\mbox{\bf0})$](img127.png)
un retículo
acotado y sea
![$x\in A$](img60.png)
un elemento cualquiera. Un elemento
![$y\in A$](img130.png)
se dice ser un
COMPLEMENTO
de
![$x$](img48.png)
si se cumplen las relaciones siguientes:
![\begin{displaymath}
x\land y = \mbox{\bf0}\hspace{3em} \&\hspace{3em} x\lor y = \mbox{\bf 1}.
\end{displaymath}](img131.png) |
(2) |
En algunos retículos puede suceder que un elemento posea
más de un complemento. En la figura 1.1 bosquejamos un retículo en
el que cada elemento ``en la parte media'' es complemento de cualquiera
otro en esa misma parte.
Figure 1.1: Retículo
con elementos que poseen varios complementos.
![\begin{figure}
\begin{center}
\setlength{\unitlength}{1cm}
\fbox{\begin{pictu...
...{5}}
\put( 6,5){\line( 5,-2){5}}
\end{picture}}\par\end{center}
\end{figure}](img132.png) |
Por otro lado, es evidente que si
es complemento de
entonces también
es complemento de
. Asímismo,
es
complemento de
.
Para citar otro ejemplo, en
consideremos
y su cono inferior
de divisores. Si
es tal que
y
son primos relativos, es decir no poseen divisores comunes
distintos de 1, entonces
y
son
complementos, uno del otro, en el retículo
.
Definición 2.4 Un retículo
![$(A,\land,\lor)$](img93.png)
se dice ser
DISTRIBUTIVO si posee la propiedad siguiente:
Distributividad.
Las nociones de distributividad y complementariedad están muy
ligadas según se ve en el siguiente:
Lema 2.2 Sea
![$(A,\land,\lor,\mbox{\bf 1},\mbox{\bf0})$](img127.png)
un retículo
acotado tal que cada elemento posee un complemento. Si
![$A$](img6.png)
es
distributivo entonces cada elemento de
![$A$](img6.png)
posee un
único complemento.
Demostración
Supongamos
distributivo. Sea
. Veamos que
cualesquiera dos complementos de
han de coincidir.
En efecto, si
y
satisfacen las relaciones de
complementariedad (2) entonces:
Mutatis mutandi obtenemos
y en
consecuencia
.
Posterior: Algebras
booleanas Arriba: Estructuras
algebraicas básicas Anterior: Conjuntos ordenados
Guillermo
Morales-Luna
2004-07-27