Posterior: Geometría de Lobachevski Arriba: Geometría del espacio Anterior: Geometría del espacio

Geometría analítica

Sea ${\mathbb{R}}^3=\{(x,y,z)\vert x,y,z \in {\mathbb{R}}\}$ el espacio real de tres dimensiones. Dados $\vec{\mbox{\bf x}}_0\in {\mathbb{R}}^3$ y $\vec{\mbox{\bf d}}\in {\mathbb{R}}^3-\{\vec{\mbox{\bf0}}\}$, la recta algebraica que pasa por $\vec{\mbox{\bf x}}_0$ y tiene VECTOR DIRECTOR $\vec{\mbox{\bf d}}$ es el conjunto

$$R(\vec{\mbox{\bf x}}_0,\vec{\mbox{\bf d}})=\{\vec{\mbox{\bf x}}_0+t\vec{\mbox{\bf d}}\vert t\in{\mathbb{R}}\}.$$

Naturalmente, vale la equivalencia:

$$R(\vec{\mbox{\bf x}}_1,\vec{\mbox{\bf d}}_1)=R(\vec{\mbox{\... ...{\bf d}}_1\ \&\ \vec{\mbox{\bf d}}_1=k_2\vec{\mbox{\bf d}}_2$$ (5)

en otras palabras, dos rectas coinciden si el segmento que une a los puntos por donde pasan y los dos vectores directores son todos paralelos. Como criterio de pertenencia de un punto a una recta se tiene: $\forall \vec{\mbox{\bf x}}\in {\mathbb{R}}^3$

$$\vec{\mbox{\bf x}}\in R(\vec{\mbox{\bf x}}_0,\vec{\mbox{\bf d}}) \Leftrightarrow \exists t\in{\mathbb{R}}: \vec{\mbox{\bf x}} = \vec{\mbox{\bf x}}_0+t\vec{\mbox{\bf d}}$$

$$\Leftrightarrow \frac{x-x_0}{d_x} = \frac{y-y_0}{d_y} = \frac{z-z_0}{d_z}.$$ (6)

Dados $\vec{\mbox{\bf x}}_0\in {\mathbb{R}}^3$ y $\vec{\mbox{\bf n}}\in {\mathbb{R}}^3-\{\vec{\mbox{\bf0}}\}$, el plano algebraico que pasa por $\vec{\mbox{\bf x}}_0$ y tiene VECTOR NORMAL $\vec{\mbox{\bf n}}$ es el conjunto

$$P(\vec{\mbox{\bf x}}_0,\vec{\mbox{\bf n}})=\{\vec{\mbox{\bf x... ...bf x}} - \vec{\mbox{\bf x}}_0\vert\vec{\mbox{\bf n}}\rangle=0\}$$

donde

$$\langle\cdot\vert\cdot\rangle: (\vec{\mbox{\bf x}}_1,\vec{\mb... ...}}_1\vert\vec{\mbox{\bf x}}_2\rangle = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$$

es el producto ``interno'', o ``punto'', usual. Naturalmente, vale la equivalencia:

$$P(\vec{\mbox{\bf x}}_1,\vec{\mbox{\bf n}}_1)=P(\vec{\mbox{\... ...rangle = 0\ \&\ \vec{\mbox{\bf n}}_1=k_2\vec{\mbox{\bf n}}_2$$ (7)

en otras palabras, dos planos coinciden si los dos vectores normales son paralelos y el segmento que une a los puntos por donde pasan es ortogonal a ellos. Como criterio de pertenencia de un punto a un plano se tiene: $\forall \vec{\mbox{\bf x}}\in {\mathbb{R}}^3$

$$\vec{\mbox{\bf x}}\in P(\vec{\mbox{\bf x}}_0,\vec{\mbox{\bf n}})\ \ \Leftrightarrow\ \ ax+by+cz=d$$ (8)

donde $\vec{\mbox{\bf n}}=(a,b,c)$ y $d=ax_0+by_0+cz_0$. Al conjunto de rectas algebraicas lo reducimos mediante la relación de equivalencia dada por (5), y a cada clase de equivalencia la llamamos RECTA GEOMÉTRICA. Similarmente, al conjunto de planos algebraicos lo reducimos mediante la relación de equivalencia dada por (7), y a cada clase de equivalencia la llamamos PLANO GEOMÉTRICO. Evidentemente, los criterios de pertenencia dados por (6) y (8) son congruentes con (5) y (7) respectivamente. La colección de puntos, rectas geométricas y planos geométricos constituyen naturalmente una $L_{\mbox{\scriptsize\it GE}}$-estructura en donde se cumplen todos los axiomas de Hilbert. Esta estructura se dice ser EUCLIDIANA.
Posterior: Geometría de Lobachevski Arriba: Geometría del espacio Anterior: Geometría del espacio