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Geometría de Lobachevski

Sea $\mbox{\it Ptos}=\{(x,y,z)\in{\mathbb{R}}^3\vert z>0\}$ el ``semiespacio superior abierto por debajo'' en el espacio real de tres dimensiones. Sea $T=\{(x,y,z)\in{\mathbb{R}}^3\vert z=0\}$ la ``tapa de abajo'' del conjunto $\mbox{\it Ptos}$. Para $\vec{\mbox{\bf x}}_0\in T$ y $\vec{\mbox{\bf d}}\in T-\{\vec{\mbox{\bf0}}\}$ sea $C(\vec{\mbox{\bf x}}_0,\vec{\mbox{\bf d}})$ el semicírculo con centro en $\vec{\mbox{\bf x}}_0$ y ``radio principal'' $\vec{\mbox{\bf d}}$, ortogonal a $T$. Entonces, $\forall \vec{\mbox{\bf x}}\in\mbox{\it Ptos}$:

$$\vec{\mbox{\bf x}}\in C(\vec{\mbox{\bf x}}_0,\vec{\mbox{\bf d... ...\; \vec{\mbox{\bf d}} + \mbox{\rm sen}\,t\;\vec{\mbox{\bf e}}_3$$

donde $\vec{\mbox{\bf e}}_3=(0,0,1)$. Sea también $P(\vec{\mbox{\bf d}})=\{\vec{\mbox{\bf d}}+t\vec{\mbox{\bf e}}_3\vert t>0\}$ la recta perpendicular a $T$ que pasa por $\vec{\mbox{\bf d}}$. El conjunto de ``rectas'' es

$$\mbox{\it Rtas} = \left\{C(\vec{\mbox{\bf x}}_0,\vec{\mbox{\b... ...}})\vert \vec{\mbox{\bf d}}\in T-\{\vec{\mbox{\bf0}}\}\right\}.$$

Ahora, para $\vec{\mbox{\bf x}}_0\in T$ y $r>0$, sea $E(\vec{\mbox{\bf x}}_0,r)$ la semiesfera con centro en $\vec{\mbox{\bf x}}_0$ y radio $r$, ``ortogonal'' a $T$:

$$E(\vec{\mbox{\bf x}}_0,r) = \{\vec{\mbox{\bf x}}\in\mbox{\it ... ...\vert \Vert\vec{\mbox{\bf x}}-\vec{\mbox{\bf x}}_0\Vert _2=r\},$$

donde $(x,y,z)\mapsto \Vert(x,y,z)\Vert _2 = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$ es la, así llamada, NORMA EUCLIDIANA. También, para cada $x\in {\mathbb{R}}$ y $t\in]0,2\pi[$ sea $\mbox{\it PlPe}(x,t)$ el plano que es perpendicular al plano $T$, corta al eje de las $x$'s en el punto $(x,0,0)$ y forma un ángulo de $t$ radianes con el eje de las $x$'s. Sea, finalmente, $P_{xz}$ el plano de coordenadas que contiene a los ejes de las $x$'s y los $z$'s. El conjunto de ``planos'' es

$$\mbox{\it Pnos} = \left\{E(\vec{\mbox{\bf x}}_0,r)\vert \vec{... ...ert x\in{\mathbb{R}}\,,\, t\in]0,2\pi[\right\} \cup \{P_{xz}\}.$$

La unión de conjuntos ${\cal L}=\mbox{\it Ptos}\cup\mbox{\it Rtas}\cup\mbox{\it Pnos}$, llamada GEOMETR´iA DE LOBACHEVSKI, forma una $L_{\mbox{\scriptsize\it GE}}$-estructura. De hecho, las relaciones unarias, binarias y terciarias de $L_{\mbox{\scriptsize\it GE}}$ se interpretan naturalmente en ${\cal L}$. Las relaciones cuaternarias, de congruencia, principalmente, han de interpretarse viendo la ``congruencia'' de segmentos mediante alguna proyección hiperbólica: Mientras más cercano se esté al plano $T$, las distancias deben ser mayores. Tan solo para hacer un poco más explícitos los comentarios anteriores observemos lo siguiente: Si $\vec{\mbox{\bf x}}_1=(x_1,y_1,z_1)$, $\vec{\mbox{\bf x}}_2=(x_2,y_2,z_2)$ son dos puntos tales que la recta euclidiana que los une no es perpendicular a $T$, entonces $\vec{\mbox{\bf x}}_1, \vec{\mbox{\bf x}}_2 \in C(\vec{\mbox{\bf x}}_0,\vec{\mbox{\bf d}})$ donde

$$\begin{eqnarray*} x_0 &=& \frac{(x_1-x_2)(x_1-x_2)^2 + (x_1+x_2)(y_1-y_2)^2 + (... ... x}}_0)\times (\vec{\mbox{\bf x}}_1-\vec{\mbox{\bf x}}_0) %%\\ \end{eqnarray*}$$

Entonces existirán dos ángulos $\theta_1,\theta_2\in]0,\pi[$ tales que

$$\begin{eqnarray*} \vec{\mbox{\bf x}}_1 &=& \vec{\mbox{\bf x}}_0 + \cos \theta_1... ...{\bf d}} + \mbox{\rm sen}\,\theta_2\;\vec{\mbox{\bf e}}_3 %%\\ \end{eqnarray*}$$

y la distancia entre $\vec{\mbox{\bf x}}_1$ y $\vec{\mbox{\bf x}}_2$ será

$$d(\vec{\mbox{\bf x}}_1,\vec{\mbox{\bf x}}_2)=\left\vert\frac{1}{\tan \theta_1}-\frac{1}{\tan \theta_2}\right\vert.$$

En este modelo se cumplen también todos los axiomas de Hilbert. Sin embargo, en él no se cumple el axioma de las paralelas. Dada una recta y un punto que no esté en ella es posible encontrar una infinidad de rectas que están en el plano que contiene al punto y a la recta dados, que pasan por el punto pero no cortan a la recta. En otras palabras,, por un punto fuera de una recta se puede hacer pasar una infinidad de rectas paralelas a la dada. Así pues, el axioma de las paralelas es independiente de los demás axiomas de la Geometría de Hilbert. Ahora bien, la Geometría de Lobachevski la hemos construído partiendo del modelo euclidiano de la Geometría Analítica que sí satisface el axioma de las paralelas. De manera general podemos resumir esto, diciendo que si la geometría euclidiana es consistente entonces la geometría no-euclidiana también lo será.
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