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Plano de Fano

En este ejemplo presentaremos un modelo de geometrías finitas en el plano. En él interpretaremos sólo las nociones de $\mbox{\underline{\tt punto}}$ y $\mbox{\underline{\tt recta}}$ y a las relaciones que las involucran. Consideraremos un conjunto de siete rectas y un conjunto de siete puntos. La relación $\mbox{\underline{\tt pasa\_por}}$ la interpretamos como una del conjunto de rectas al conjunto de puntos. Sea $\mbox{\it Fano}=\left(f_{ij}\right)_{i,j=1}^7$ la matriz tal que

$$f_{ij}=\left\{\begin{array}{ll} 1 &\mbox{\rm si la recta $i$... ...nto $j$ } \\ 0 &\mbox{\rm en otro caso } \end{array}\right.$$

Explícitamente, hemos de tener:

$$\mbox{\it Fano}=\left[\begin{array}{ccccccc} 1 & 0 & 0 & 1 &... ... 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 %%\\ \end{array}\right]$$

Puede verse fácilmente que siempre es posible encontrar una recta única que pase por dos puntos dados, cada recta contiene al menos dos puntos y existe una tríada (de hecho hay $28={7 \choose 3}-7$) de puntos no colineales. Así que se cumplen inmediatamente los tres primeros axiomas de incidencia de la Geometría de Hilbert. Ahora, interpretemos a la relación $\mbox{\underline{\tt entre}}$ como sigue:

$$\begin{eqnarray*} \mbox{\underline{\tt entre}}(p_i,p_j,p_k) &\Leftrightarrow& \... ...ales}\right) \ \land \\ &\ & \left(i<j<k\ \lor\ k<j<i\right) \end{eqnarray*}$$

Resulta con esto, que si una recta ``entra'' a un triángulo por un lado, entonces ha de ``salir'' por uno de los otros dos lados. En consecuencia, este modelo satisface los axiomas primero, tercero y cuarto de orden. Deja de cumplir con el segundo pues siendo éste un modelo finito, no puede ocurrir que entre cualesquiera dos puntos exista un tercero entre ellos.
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