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Barbara

Recordamos que en el cálculo de proposiciones demostramos el silogismo tradicional. Así pues, podremos hacer uso de:

$$M(x)\rightarrow P(x)\ ,\ S(x)\rightarrow M(x) \vdash S(x)\rightarrow P(x)$$

pues una prueba de ella en el cálculo de proposiciones es en sí también una prueba en el cálculo de predicados. Una prueba, escrita a grandes rasgos, de Barbara es la que sigue:

1.

$\forall x\,\left(M(x)\rightarrow P(x)\right)$ ( $\mbox{\rm Hip}$)

2.

$1. \ \rightarrow\ \left(M(x)\rightarrow P(x)\right)$ ( $\mbox{\rm Ax}_4$)

3.

$M(x)\rightarrow P(x)$ ( $\mbox{\rm MP}\ 1,2$)

4.

$\forall x\,\left(S(x)\rightarrow M(x)\right)$ ( $\mbox{\rm Hip}$)

5.

$4. \ \rightarrow\ \left(S(x)\rightarrow M(x)\right)$ ( $\mbox{\rm Ax}_4$)

6.

$S(x)\rightarrow M(x)$ ( $\mbox{\rm MP}\ 4,5$)

7.

$S(x)\rightarrow P(x)$ ( $\mbox{\rm Sil. Trad.}\ 3,6$)

8.

$\forall x\,\left(S(x)\rightarrow P(x)\right)$ ( $\mbox{\rm Gen}\ 7$)

$\quad\Box$