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Festino

Para demostrar la validez de este silogismo, escribamos:

\begin{eqnarray*}
P_1 &\equiv& \forall x\,\left(P(x)\rightarrow \neg M(x)\right...
...\right) = \neg\forall x\,\neg \left(S(x)\land \neg P(x)\right)
\end{eqnarray*}



Por Barbara se tiene

\begin{displaymath}\forall x\,\left(P(x)\rightarrow \neg M(x)\right)\ ,\ \forall...
...ght)\ \vdash\ \forall x\,\left(S(x)\rightarrow \neg M(x)\right)\end{displaymath}

o equivalentemente

\begin{displaymath}P_1\ ,\ \forall x\,\left(\neg S(x)\lor P(x)\right)\ \vdash\ \forall x\,\left(\neg S(x)\lor \neg M(x)\right)\end{displaymath}

o sea

\begin{displaymath}P_1\ ,\ \neg C\ \vdash\ \neg P_2.\end{displaymath}

Por el Teorema de Deducción:
\begin{displaymath}
P_1\ \vdash\ \neg C\ \rightarrow\ \neg P_2.
\end{displaymath} (5)

Por otro lado, se tiene como un teorema
\begin{displaymath}
\vdash \left(\neg C\rightarrow \neg P_2\right)\ \rightarrow\ \left(P_2\rightarrow C \right).
\end{displaymath} (6)

Así pues, de (5) y (6) por Modus Ponens resulta $P_1\ \vdash\ P_2\rightarrow C$, de lo cual el Teorema de Deducción da, finalmente, el esquema Festino: $P_1,P_2\ \vdash\ C$. $\quad\Box$

Guillermo Morales-Luna
2004-07-27