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Festino

Para demostrar la validez de este silogismo, escribamos:

$$\begin{eqnarray*} P_1 &\equiv& \forall x\,\left(P(x)\rightarrow \neg M(x)\right... ...\right) = \neg\forall x\,\neg \left(S(x)\land \neg P(x)\right) \end{eqnarray*}$$

Por Barbara se tiene

$$\forall x\,\left(P(x)\rightarrow \neg M(x)\right)\ ,\ \forall... ...ght)\ \vdash\ \forall x\,\left(S(x)\rightarrow \neg M(x)\right)$$

o equivalentemente

$$P_1\ ,\ \forall x\,\left(\neg S(x)\lor P(x)\right)\ \vdash\ \forall x\,\left(\neg S(x)\lor \neg M(x)\right)$$

o sea

$$P_1\ ,\ \neg C\ \vdash\ \neg P_2.$$

Por el Teorema de Deducción:

$$P_1\ \vdash\ \neg C\ \rightarrow\ \neg P_2.$$ (5)

Por otro lado, se tiene como un teorema

$$\vdash \left(\neg C\rightarrow \neg P_2\right)\ \rightarrow\ \left(P_2\rightarrow C \right).$$ (6)

Así pues, de (5) y (6) por Modus Ponens resulta $P_1\ \vdash\ P_2\rightarrow C$, de lo cual el Teorema de Deducción da, finalmente, el esquema Festino: $P_1,P_2\ \vdash\ C$. $\quad\Box$