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Coherencia

Hemos visto que una $L$-estructura $\mathfrak{M}=(M,\overline{\cdot})$ satisface un enunciado $\phi\in\mbox{\rm Fbf}(L)$ si es que, bajo la interpretación, lo aseverado por $\phi$ se cumple en $\mathfrak{M}$. En este caso, escribimos $\mathfrak{M}\models \phi$. Resulta claro de la definición de satisfactibilidad que $\mathfrak{M}\models \phi$ si y sólo si $\mathfrak{M}\not\models \neg\phi$. Así pues, si un enunciado se cumple en una $L$-estructura, la negación de ese enunciado no podrá satisfacerse en la misma $L$-estructura. Si $T\subset\mbox{\rm Fbf}(L)$ es un conjunto de fórmulas, escribimos $\mathfrak{M}\models T$ para denotar el hecho de que $\mathfrak{M}\models \phi$ para cada enunciado $\phi\in T$ que esté en $T$. Si $\phi\in\mbox{\rm Fbf}(L)$ es otra fórmula, diremos que $\phi$ es una CONSECUENCIA LÓGICA de $T$, y escribimos $T\models \phi$, si toda vez que se tenga un modelo de $T$ ése ha de ser un modelo de $\phi$, es decir, cualquiera que sea la $L$-estructura $\mathfrak{M}$:

$$\mathfrak{M}\models T\ \ \ \Rightarrow\ \ \ \mathfrak{M}\models \phi.$$

Se dice que $\phi$ es UNIVERSALMENTE VÁLIDA, y escribimos $\models \phi$, si para cualquier $L$-estructura $\mathfrak{M}$, $\mathfrak{M}\models \phi$.

Teorema 4.1 (de coherencia)   Toda fórmula demostrable es universalmente válida, es decir:

$$\vdash \phi\ \ \ \Rightarrow\ \ \ \models \phi.$$

Demostración
En efecto, los axiomas son universalmente válidos y además esta noción ``es invariante'' bajo las reglas de inferencia, es decir, si en una $L$-estructura $\mathfrak{M}$ se tiene $\mathfrak{M}\models (\phi\rightarrow \psi)$ y $\mathfrak{M}\models \phi$ entonces $\mathfrak{M}\models \psi$ y, también, si $\mathfrak{M}\models \phi(\mbox{\bf x})$ entonces $\mathfrak{M}\models \forall \mbox{\bf x}\,\phi(\mbox{\bf x})$. $\quad\Box$

Definición 4.1   Un conjunto de fórmulas $T\subset\mbox{\rm Fbf}(L)$ es CONSISTENTE si no existe una fórmula $\phi\in\mbox{\rm Fbf}(L)$ tal que, a la vez, $T\vdash \phi$ y $T\vdash \neg\phi$

Como una consecuencia del teorema de coherencia, una condición suficiente para tener consistencia está dada por la siguiente:

Proposición 4.1   Sea $T\subset\mbox{\rm Fbf}(L)$. Si existe un modelo de $T$, es decir, para alguna $L$-estructura $\mathfrak{M}$ se tiene $\mathfrak{M}\models T$, entonces $T$ es consistente.

Demostración
En efecto, si $\mathfrak{M}\models T$ y $T\vdash \phi$ entonces, por coherencia, $\mathfrak{M}\models \phi$. Así pues, no puede suceder que haya una fórmula $\phi\in\mbox{\rm Fbf}(L)$ tal que $T\vdash \phi$ y $T\vdash \neg\phi$. $\quad\Box$ De hecho, el recíproco también es cierto, pero para demostrarlo hemos de revisar algunas otras propiedades previas del cálculo de predicados.

Proposición 4.2 (de finitud)   Sean $T\subset\mbox{\rm Fbf}(L)$ y $\phi\in\mbox{\rm Fbf}(L)$. Si $T\vdash \phi$ entonces existe un conjunto finito $T_0\subset T$ tal que $T_0\vdash \phi$.

Demostración
En efecto, si $T\vdash \phi$ y $D$ es una prueba de $\phi$ a partir de $T$, sea $T_0$ el conjunto de fórmulas en $T$ que aparecen en $D$. Claramente $D$ es también una prueba de $\phi$ a partir de $T_0$ y $T_0$ es finito pues $D$ lo es. $\quad\Box$
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