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Ilustración del Teorema de Goodstein

Supongamos que el número $a$ es de la forma $a=a_i\cdot m^i,$ donde $i< m \mbox{\rm , con }a_i< m.$ Al calcular la sucesión de Goodstein, el término que le sigue a $a$ es precisamente

$$\begin{eqnarray*} a_i\cdot (m+1)^i-1 &=&(a_i-1)\cdot (m+1)^i+ \\ && (m+1)^i-1 \... ...\cdot (m+1)^i+ \\ && m\cdot (m+1)^{i-1} +\cdots+m\cdot (m+1)+m \end{eqnarray*}$$

así pues

• se ha decrementado en uno el dígito más significativo de la expresión formal, aunque
• se han ``restablecido'' los demás dígitos a sus máximos valores posibles. Sin embargo,
  • estos dígitos son estrictamente menores que la base actual,
  • no se modificarán más al calcular la sucesión: ¡Sólo pueden decrecer!
• Al cabo de un cierto número de iteraciones los dígitos menos significativos se anularán.
• En este momento el término actual es de la forma inicial pero se ha decrementado en una unidad el dígito más significativo.