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Algunos valores explícitos de la función

Calcularemos valores para argumentos de la forma $(a\cdot m^i,m)$ donde $a\in[1,m-1],\;i\in[0,m-1]\mbox{\rm y }m\geq 2.$ Definamos

$$\begin{eqnarray*} p(i,a,m) &=& \min\{k\vert s_k(a\cdot m^i,m)=0\}, \\ q(i,a,m) &=& \min\{k\vert s_k(a\cdot m^i,m)=(a-1)\cdot (m+k)^i\}. \end{eqnarray*}$$

Entonces incialmente, para $i=0$, se tiene $q(0,a,m) = 1$ y $p(0,a,m)=a$. Recursivamente, para $i\geq 1$, los valores de $q$ y de $p$ se calculan según los procedimientos descritos en los seudocódigos de la tabla 3.10.

Table 3.10: Cálculos de $q$ y de $p$.

Equivalentemente, se tiene las recurrencias siguientes:

$$\left\{\begin{array}{rcl} q(0,a,m) &=& 1 \\ q(i,a,m) &=& q(i-1,a,m) + p(i-1,m,m+q(i-1,a,m)) \end{array}\right.$$

y

$$\left\{\begin{array}{rcl} p(0,a,m) &=& a \\ \left\{\begin{... ...q(i,a,m) + p(i,a-1,m+q(i,a,m)) \end{array} \end{array}\right.$$

De aquí se puede ver que $q$ es ``constante respecto a $m$'',

$$\forall a:\;q(i,a,m)=q(i,1,m).$$