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Enteros módulo-$p$

Sea $p\in{\mathbb{N}}$ un número primo. La congruencia de enteros módulo $p$:

$$x\equiv y\mbox{\rm mod }p\ \Leftrightarrow\ p\vert(y-x)$$

es una relación de equivalencia en los enteros ${\mathbb{Z}}$, congruente con las operaciones del anillo ${\mathbb{Z}}$. Su espacio cociente

$${\mathbb{Z}}_p=\left({\mathbb{Z}}/\equiv\right) = \{[0],[1],\ldots,[p-1]\}$$

es entonces un anillo, llamado de los enteros módulo $p$, con las operaciones heredadas de ${\mathbb{Z}}$. Al ser $p$ un primo, se tiene que para todo entero $q$ tal que $0<q<p$, $q$ es primo relativo con $p$, por tanto el máximo común divisor de $q$ y $p$ es 1, $\mbox{\rm m.c.d.}(q,p)=1$. Consecuentemente, 1 se ha de expresar como una combinación lineal de $q$ y $p$, es decir, existen $r,s\in{\mathbb{Z}}$ tales que $1=rq+sp$. Por tanto, al tomar congruencias móduo $p$ resulta $1\equiv r\cdot q\mbox{\rm mod }p$, vale decir, $r$ es el inverso multiplicativo de $q$. Así pues, ${\mathbb{Z}}_p$ es un campo, finito, con $p$ elementos, y por tanto una $L_{\mbox{\scriptsize\it CA}}$-estructura.