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Campos de Galois

Sea $p\in{\mathbb{N}}$ un número primo. ${\mathbb{Z}}_p$ es un campo y la colección de polinomios ${\mathbb{Z}}_p[X]$ con coeficientes en él es un anillo. Si $P(X)$ es un polinomio cualquiera de grado $n$, el cociente ${\mathbb{Z}}_p[X]/\left(P(X)\right)$ es el introducido por la relación de equivalencia de polinomios:

$$Q(X)\equiv R(X)\mbox{\rm mod }P(X)\ \Leftrightarrow\ \exists S(X)\in{\mathbb{Z}}_p[X]: S(X)P(X) = Q(X) - R(X),$$

y es un anillo con las operaciones heredadas de ${\mathbb{Z}}_p[X]$. De hecho, puede verse que el cociente ${\mathbb{Z}}_p[X]/\left(P(X)\right)$ posee exactamente $p^n$ elementos. Si $P(X)$ es además un polinomio irreducible de grado $n$ entonces el cociente ${\mathbb{F}}_{p^n}={\mathbb{Z}}_p[X]/\left(P(X)\right)$ es un campo, llamado de Galois. Se puede ver que ${\mathbb{F}}_{p^n}$ no depende del polinomio irreducible $P(X)$ (si se toma algún otro polinomio irreducible $Q(X)$ de grado $n$, el cociente ${\mathbb{Z}}_p[X]/\left(Q(X)\right)$ es isomorfo al cociente ${\mathbb{Z}}_p[X]/\left(P(X)\right)$). ${\mathbb{F}}_{p^n}$ es un campo finito con $p^n$ elementos, es cíclico y es de suma importancia en aplicaciones relativas a las Telecomunicaciones, específicamente en la Teoría de Códigos y en Criptografía. Todo esto se puede ver con más detalle en los libros [Li] y [Sch]. ${\mathbb{F}}_{p^n}$ es pues una $L_{\mbox{\scriptsize\it CA}}$-estructura.
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