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Sintaxis

Recordamos que un cálculo de proposiciones (CProp) se construye a partir de un conjunto finito de variables proposicionales $P=\{p_1,\ldots,p_n\}$, de los valores constantes $0,1$ a los que se identifica como falso y verdadero, respectivamente, y de algunos conectivos, entre los cuáles están $\neg,\lor,\land,\rightarrow,\leftrightarrow$ llamados negación, disyunción, conjunción, implicación y equivalencia, respectivamente. Las formas proposicionales son las así llamadas fórmulas bien formadas. Para precisar el concepto de fórmula bien formada asignemos primeramente prioridades a los conectivos:

$\neg$	tiene prioridad	1
$\lor,\land$	tienen prioridad	2
$\rightarrow,\leftrightarrow$	tienen prioridad	2

En el manejo de prioridades, la convención es usual: ``Menores valores numéricos corresponden a prioridades mayores y, con prioridades iguales, se aplican primero los conectivos más a la izquierda''. El conjunto FP de formas proposicionales se define inductivamente, y al mismo tiempo se define la noción de conectivo principal de FP's. En el recuadro (4.10) presentamos estas definiciones precisas.

Table 4.10: Definición de formas proposicionales.

Por ejemplo, consideremos el acertijo siguiente:

Ha ocurrido un cuantioso robo en una tienda. Los asaltantes transportaron su botín en una camioneta. Posteriormente se atrapa a tres maleantes sospechosos $A$, $B$ y $C$. Las pesquisas muestran evidencias de que $A$ siempre se acompaña de $B$ o de $C$ para sus fechorías, $C$ por su lado nunca actuaría solo, pero también $A$ no se acompañaría de $C$ en un atraco. El atraco sólo pudo haber sido cometido por $A$, $B$ o $C$ y al menos uno de ellos es culpable. Hay que decidir las culpabilidades de ellos.

Consideremos tres variables proposicionales para codificar correspondientes hipótesis:

$$\begin{eqnarray*}p_A &:& \mbox{\it$A$\ es culpable,} \\ p_B &:& \mbox{\it$B$\ es culpable,} \\ p_C &:& \mbox{\it$C$\ es culpable.} %%\\ \end{eqnarray*}$$

Los ``hechos'' siguientes pueden representarse por correspondientes formas proposicionales:

1. Si $A$ fuese culpable y $B$ inocente, entonces $C$ ha de ser culpable: $p_A\land \neg p_b \rightarrow p_C$.
2. $C$ nunca actuaría solo: $p_C \rightarrow p_A\lor p_B$.
3. $A$ nunca actuaría con $C$: $\neg (p_A\land p_C)$.
4. Nadie más que $A$, $B$ o $C$ pudieron haber actuado y al menos uno de ellos es culpable: $p_A\lor p_B\lor p_C$.

De acuerdo con el acertijo, si los cuatro hechos anteriores fuesen verdaderos, ¿qué podría decirse acerca de las culpabilidades de $A$, $B$ y $C$? Y si acaso se tuviese una evidencia de que cada uno de esos hechos es verdadero con una cierta probabilidad, ¿qué podría decirse acerca de las probabilidades de que $A$, $B$ y $C$ sean culpables? El acertijo se formaliza naturalmente en un cálculo proposicional con tres variables. En lo que sigue, trataremos el acertijo con las respectivas propagaciones de valores que introduzcamos.
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